概率论8.pdf

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∫ ∞
−
H(X) = fX (x) log2(fX (x))dx, (1-6)
−∞
这里需要说明一点，由于采用不同底的对数之间仅差一个常数倍，为方便起见，如无特别说
明，下面的讨论将采用自然对数，即以e为底。
例 这里给出几个连续随机变量的例子。设X1、X2和X3为连续随机变量，取值于[0, 1]，
密度分别为
f1(x) = I[0,1](x);
f2(x) = 6x(1 − x)I[0,1](x);
1
f3(x) = √ I[0,1](x);
α x(1 − x)
首先确定参数α。我们有
∫ ∫
∞ 1 1
fX (x)dx = √ dx
−∞ 0 α x(1 − x)
∫
1 π/2 1
= √ d sin2 θ, x = sin2 θ,
2
α 0 sin θ cos2 θ
∫
1 π/2 2 sin θ cos θ π
= dθ =
α 0 sin θ cos θ α
由(1-2)，得到α = π。
X1、X2和X3的概率密度图示如下，
6

5

1
4

3