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第二节 矩阵可对角化的条件
定义1 如果矩阵 能与对角矩阵相似，那么称可对角化。
例1设，那么有：，即。从而可对角化。
定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关...wd
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第二节 矩阵可对角化的条件
定义1 如果矩阵 能与对角矩阵相似，那么称可对角化。
例1设，那么有：，即。从而可对角化。
定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。
证明：必要性 如果可对角化，那么存在可逆矩阵，使得
将按列分块得，从而有
因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。
充分性 设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，那么有。令，那么是一个可逆矩阵且有：
因此有，即，也就是矩阵可对角化。
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注 假设，那么，对按列分块得，于是有
，即，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。
定理2 矩阵 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
证明：设是的个互不一样的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。
当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。
假设的个互不一样的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设是的个互不一样的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设
(1)
成立。那么有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得
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，再由两两互不一样可得,将其代入(1)式得 ，因此有 ，从而线性无关。
推论1 假设 阶矩阵有个互不一样的特征值，那么可对角化，且。
定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，那么由所有这些特征向量〔 共 个 〕构成的向量组是线性无关的。
证明：设，记，，那么有，且或是的属于特征值 的特征向量。假设存在某个，，那么由属于不同特征值的特征向量线性无关知 ，矛盾。因此有，,又由得,,因此向量组线性无关。
定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，那么 ，即齐次线性方程组的根底解系所含向量个数不超过特征值的重数。
证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组
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的根底解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个根底解系,且假设,那么有。现将扩大为一个维线性无关向量组,其中未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而可由向量组线性表示，即：
因而有：
〔2〕
其中有个。令，并将(2)式右端矩阵分块表示，那么有，由相似 矩阵有一样的特征多项式，得的特征多项式为：
其中是的次多项式。从而至少是的重特征值，与是重特征值矛盾。所以。
定理5 阶矩阵可对角化的充分必要条件是：的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数(即的每个特征值对应的齐次线性方程组的根底解系