阶Runge-Kutta法求解一阶常微分方程.docx

文档介绍：《MATLAB语言及应用》
大作业
姓名：
学号：
学院：
班级：题目编号:
2013年10月13
4阶Runge-Kutta法求解一阶常微分方程。
一、Runge-Kutta法的数学理论
龙格-库塔(Runge-Ku《MATLAB语言及应用》
大作业
姓名：
学号：
学院：
班级：题目编号:
2013年10月13
4阶Runge-Kutta法求解一阶常微分方程。
一、Runge-Kutta法的数学理论
龙格-库塔(Runge-Kutta方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两
个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。
(Yn+1-Yn)/h=f(Xn,Yn1出(近似等于，极限为Yn')
Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)
另外根据微分中值定理，存在0<t<1,使得
Yn+1=Yn+h*f(Xn+th,Y(Xn+th))
这里K=f(Xn+th,Y(Xn+th)弁为平均斜率，龙格库塔方法就是求得K的一种算法。
利用这样的原理，经过复杂的数学推导(过于繁琐省略)，可以得出截断误差为O(hA5)的四阶龙格库塔公式：
K1=f(Xn,Yn);
K2=f(Xn+h2,Yn+(h/2)*K1);
K3=f(Xn+h2,Yn+(h/2)*K2);
K4=f(Xn+h,Yn+h*K3);
Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*6)
二、Runge-Kutta的算法和流程图
在龙格-库塔法中，四阶龙格-库塔法的局部截断误差约为0(h5),被广泛应用于解微分方程的初值问题。其算法公式为：
yniynh/6ki2k22k3k《kifxn,yn
k2fXnh/2,ynh/2*ki,k3fXnh/2,ynh/2*k2,k4fXnh,ynhk3
流程图：
(1)、四阶龙格-库塔方法流程图：
(2)、实例求解流程图:
开始
输入求解的自变显范围
求出待求简不微分
方程的真值解
用MATLAB自带函数o加
求解待求微分方程
用自编函数四阶龙格一比塔
(R-K)方法求解计求微分方程
结束
二、Runge-Kutta的Matlab实现
function[x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表