文档介绍：毕业论文
题目：二次型的正定性及其应用
学生姓名：孙云云
学生学号： 0805010236 如果对任意不全为零的实数都有，则称f为正定二次型,称A为正定矩阵；如果，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果，称f 为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A为不定矩阵.
另一种定义具有对称矩阵的二次型
(1) 如果对任何非零向量, 都有（或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量, 都有（或）
成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定).
,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
2 二次型的正定性一些判别方法及其性质
设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.
对角矩阵正定的充分必要条件是.
对称矩阵为正定的充分必要条件是A的特征值全大于零.
为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数
矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵,.
若为正定矩阵,则.
秩为的元实二次型, 设其规范形为
则：
(1)负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)
(2)半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)
(3)半负定的充分必要条件是 (即)
(4)不定的充分必要条件是 (即)
阶矩阵的个行标和列标相同的子式

称为的阶顺序主子式.
阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.
证明：必要性设二次型
是正定的．对于每个k，1£k£n，令
，
则对于任意一组不全为零的实数，有
．
因此是正定的．由推论，的矩阵的行列式
．
故矩阵A的顺序主子式全大于零．
充分性对n作数学归纳法．当n=1时，，由条件，显然有是正定的．
假设充分性的论断对于n-1元二次型已经成立，那么对n元情形，令
，
则矩阵A分块为
．
由A的顺序主子式全大于零知道的顺序主子式也全大于零．因此，由归纳假定，是正定矩阵，即有n-1阶可逆矩阵G,使
．
取
，
则
．
再取
，
则
,
令C=C1C2，a=ann-a¢GG¢a．
则有
两边取行列式，得．由于|A|>0，因此a>0．显然
这就是说，矩阵A与单位矩阵合同．所以A是正定矩阵，故二次型正定．
注：(1)若是负定矩阵，则为正定矩阵.
(2)是负定矩阵的充要条件是：
其中是的阶顺序主子式.
(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
（半负定）的;
（小于）或等于零；
（小于）或等于零.
设M是n阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M为正定阵，其中I是单位矩阵.
证明：矩阵正定的充要条件:
对任意x不等于0向量,有，，
在所有的X中选一个X,使的值最小,,其中MAX>0，而这时对应的的值为K,且K肯定大于0.
又K,MAX都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>0，即>0
故TI+M正定.
例考虑二次型,问为何值时，f为正定二次型.
解:利用顺序主子式来判别,二次型f的矩阵为，A的顺序主子式为
；；.
于是，二次型f正定的充要条件是：，有，可知，；由,
可得,
所以，当时,f正定.
已知A-E是n阶正定矩阵，证明为正定矩阵.
分析：只要证明的特征值全大于零即可
证明:由正定知A是实对称矩阵，从而，
（k=1,2,…,n）,则A-E的特征值为（k=1,2,…,n）,
而的特征值为（k=1，2，…,n）,
因为是正定矩阵，所以,(k=1,2,…,n),从而，
故，（k=1,2,…,n）即，的特征值全大于零，故，为正定矩阵.
3 二次型的应用
多元函数极值
在实际问题中经常要遇到求三元以上