文档介绍：复数的三角形式与指数形式
现在学习的是第一页，共26页
、复数的三角形式
一、复数的幅角与模
我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b)，也对应复平面上一个向量（如右图所示）
这个向量的长度叫做复数a+bi的对于任意虚数而言，这是不可能的。
因此幅角θ也应该占据指数的位置。
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
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、复数的指数形式
幅角θ与虚数单位i是相加的关系会怎样？
先考察模为1的复数
如果写成 的形式
一方面，由于
与 的形式差别不是很大，
其次
在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
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、复数的指数形式
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征
下面来解决最后一个问题：应该选用哪个常数作为底数？
我们暂时将 形式化地看做r与θ的“二元函数”
数学是“形式化的科学”，因此，一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。
下面我们将 等式两边对θ形式化地求“偏微分”
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、复数的指数形式
于是由
这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式——指数式
从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化
对于指数形式的严格证明可以参读《复数的指数形式的证明》
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的证明：泰勒级数法
写成泰勒级数形式：
将
代入可得：
e iz = cos z+ i sin z（欧拉公式） z ϵR
将函数
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、复数的指数形式
由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：
这两个公式被统称为欧拉公式
在复数的指数形式中，令r=1,θ=π，就得到下面的等式
或
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数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看着它但却不能理解它。
它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起：两个超越数——自然对数的底e，圆周率π；三个单位——虚数单位i、自然数的乘法单位1和加法单位0。
或
、复数的指数形式
关于自然对数的底e和圆周率π，这里我想多说那么几句：它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数，尽管从理论上我们知道，超越数比有理数、代数数（可以表示为有理系数一元多项式的根的数）要多得多，但为人类所认识的超越数却仅此两个！
令人不可思议的是，它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。
在复数的指数形式中，令r=1,θ=π，就得到下面的等式
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、复数的应用
利用复数的三角形式，我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点，我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。
例1：三角级数求和
解：
令
那么对任何自然数k，有
于是
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、复数的应用
例1：三角级数求和
解：
另一方面
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、复数的应用
例1：三角级数求和
解：
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、复数的应用
例1：三角级数求和
即
所以
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、复数的应用
例2：设M是单位圆周 x2 + y2 = 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。
分析：此题若用一般解析几何的方法寻找点M与N之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。
设M、N、A对应的复数依次为：
那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到
用复数运算来实现这个变换就是
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、复数的应用
例2：设M是单位圆周 x2 + y2 = 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。
即
所以
但
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故
、复数的应用
例2：设