文档介绍：水质评价问题的数学模型
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水质评价问题的数学模型
摘要
本文以某村四个水井因农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染为背景，通过对这四个水井的24个水质监测数据的统计，对四个水井的综合水质进行了细致的分析。
指标
U
评定结果的指标集
九项项污染指标值
区间最小值
5
区间最大值
，
区间边界
权重
V
定性评价的评价论域
效益型指标
成本型指标.
权重矩阵

分别表示东井，西井，南井，北井
四、问题分析

要对东井、西井、南井、北井四个水井的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在差异，以及差异产生的原因，可从题目的要求中获知利用附录1中的水质监测数据来进行四个水井的排名。经过分析和查阅相关资料，可以运用层次分析法和TOPSIS分析方法求解。在该问题中，我们选择从溶解氧、高锰酸盐指数。总磷、氨氮、粪大肠菌群这几个方面(PH值为无量纲量在此不讨论，之所以选取这五个指标，是由于附件二中，关于水质分级标准，除这五个指标外的其他指标项目在分级时至少有两个标准值是相同的，对于水质的衡量没有太多帮助)来衡量四个水井的水质情况,从而建立了层次结构模型和TOPSIS分析模型。

(1) 最大特征值的MATLAB计算方法：,其中为待计算特征值的矩阵，为对角矩阵，其对角元素为的特征值，最大的即为。
(2)一致性指标计算方法：
（其中λ为矩阵A的最大特征值，为矩阵的阶数）
(3)随即一致性指标的计算方法：
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RI 与n 有如下关系，如表
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0
(4)权重计算方法
计算矩阵的特征根及特征向量，将所求的特征向量单位化后得到的就是权重值。
TOPSIS分析法
此外，该问题还可以应用TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。其基本思想是把综合评价问题转化为求各种评价对象之间的差异——“距离”，即按照一定的法则先确定理想解与负理想解，然后通过计算每一个被评价对象与理想解和被理想解之间的距离，再加以比较得出其排序。
两种方法差异分析
由于方法的不同，对数据的使用及舍入也有所不同，加之分析问题的角度不同，所以结果可能出现差异，不过可以确定，尽管计算方法存在不同，如果两种方法都计算准确的话，结果不会有太大出入。
问题二的分析
通过仔细分析题目的要求，得知题目要求我们找出对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。于是我首先想到了利用模糊数学模型中的一个偏大型柯西分布隶属函数去处理，据模糊识别原则中的择近原则，同时运用格贴近度公式，求解出四个与I类、Ⅱ类、Ⅲ类哪个水质等级标准更符合。
五、模型的建立和求解
问题一求解
先对各评价因子进行无量纲化处理，再分别应用层次分析法和TOPSIS分析法建立模型求解。

在利用SPSS统计软件数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即
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， (1)
标准化以后各变量的平均值都为1，标准差为原始变量的变异系数。该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。对极大型指标溶解氧的指标做极小变换，即取倒数变换，其中。用EXCEL方法作出标准化前后的各变量数据如表1所示：
表1 各指标原数据及无量纲化后数据
样品编号
溶解氧
高锰酸盐指数
总磷
氨氮
类大肠菌群
东井

900
西井

13
1805
南井

600
北井

0
968
平均值

无量纲化处理后的各指标数据
东井

西井

南井