文档介绍：Cohomologie non ramifi´ee des quadriques
Bruno Kahn
Institut de Math´ematiques de Jussieu
175–179 rue du Chevaleret
75013 Paris, France
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Introduction
Le but de ce texte est de donner un survol de techniques permettant le cal-
cul de la cohomologie non ramifi´ee de certaines vari´et´es projectives homog`enes
en poids 6 3. Bien que la cohomologie non ramifi´ee soit un invariant biration-
nel des vari´et´es propres et lisses (cf. th´eor`eme ), ces techniques exigent la
donn´ee d’un mod`ele projectif lisse explicite.
Dans les §§1, 2 et 3, on rappelle les bases de la th´eorie : suite spectrale
de coniveau, complexes de Cousin, complexes de Gersten, conjecture de Gers-
ten. Ces rappels, essentiellement fond´es sur l’article [6], sont formul´es pour
une « th´eorie cohomologique `a supports » quelconque qui satisfaita ` certains
axiomes convenables. Des exemples de telles th´eories sont donn´es au §4.
Apartirdu` §6, on me th´eorie cohomologique la cohomo-
logie motivique ´etale `a coefficients entiers et on suppose que les vari´et´es
consid´er´ees sont lisses et g´eom´etriquement cellulaires (c’est-`a-dire admettent
une d´ecomposition cellulaire sur la clˆoture alg´ebrique) : c’est le cas par
exemple des vari´et´es projectives homog`enes. On introduit pl´ement in-
dispensable aux suites spectrales de coniveau : les suites spectrales dites « des
poids», cf. [13]. La construction de ces suites spectrales repose sur la th´eorie
des motifs triangul´es de Voevodsky [44], ce qui oblige pour l’instanta ` supposer
que le corps de base k est de caract´eristique z´ero.
Si X est une k-vari´et´e projective homog`ene, on souhaite calculer le noyau
et le conoyau des homomorphismes
n+2 Z 5 n+2 Z 7
H (k, (n)) Hnr (X, (n)),n 0. (*)
La m´ethode est de consid´erer ensemble la suite spectrale de coniveau et la
suite spectrale des poids, chacune en poids n : elles convergent toutes les deux
vers la cohomologie motivique de poids n de X. L