文档介绍：
证明：。是V的一个线性变换.
例的描述：设 V= Matnxn(F),设 A6V,令 o(A)二A+A、贝ij Ge<e(V).
证首先。是V上的一个变换，又
o(A+B)=(A+B)+(Ao是。的一个特征值，则存在a£ V, a^O,使o(a)=?ioa
因a是可逆的，存在a1使a1(o(a))= o_1(Xoa)= a
由上式最后一个等式看出归)公0,否则a_1(X()a)=O,矛盾.
从而令p=Mx,则0乏0,且
所以寸是捉的特征值.
设AEMatnxn(R),满足ATA=：如果|A|=.1,则・1是A的一个特征值.
证对ATA=En两边加A得
ATA+A=En+A
即心丁+ En )A=En+A
两边取行列式得|AT+ Enl |A|=|En+A|
即・|En+A|=|En+A|
从而 |En+A|=O
所以-1是A的一个特征值.
设 ALMat(2n+i)(2n+i)(R)，满足 ATA=E2n+i-证明：如果|A|=1,则 1 是 A 的一个特征值.
证对ATA=E2n+i两边加(・A)得
A「A-A=E2n+i-A
即(AT-E2n+l)A=E2E-A
两边取行列式得 |AT- E2n+l| |A|=|E2n+l-A|
即 |E2n+|-A|=|E2n+|-A|
从而 |E2n+l-A|=0
故有 |A-E2n+i|=0
所以1是A的一个特征值.
, BeMatnxn(R).证明：①如果A是可逆的，则AB与BA有相同的特征多项式.
②*如果A不是可逆的，证明上述结论同样成立.
证如果A可逆，对AB左边乘A%右边乘A得A-】ABA=BA,即AB与BA相似，所
以有相同的特征多项式.

1 .在实数域R上,
下面的矩阵是否可对角化？在复数域C上呢?
2
-2
—3)
"一3
解 ①特征多项式f(A)=|AE-A|有3个实根1, 2, -2,所以所给矩阵在实数域R和复数
域C上都可对角化.
②特征多项式f(X)=|XE-A|有2个相等的实根1,解线性方程组()X=O,即
‘0 -1、
X、
〈0)
显然只有一个线性无关的解，所以所给矩阵在实数域R和复数域C上都不可对角化.
令特征多项式fQ)=|人E-A|=O,艮|J
2-3 -3 -2
—1 A — 1 2 =(入 2+4)(A-4)=0
3 1 2
在实数范围内有一个根4,在复数范围内有3个不相等的根4, 2i, -2i,所以所给矩阵在实
数域R上不可对角化，在复数域C上可对角化.
令特征多项式f(X)=|XE-A|=O,即
2-1 0 3
—5 人—2 — 1 =(入-2)伏2-3入+5)=0
-1 0 Z-2
在实数范围内有一个根2,在复数范围内有3个不相等的根2, 3 + &, 3-所
2 2
以所给矩阵在实数域R上不可对角化，在复数域C上可对角化.
设1, -1, 2是3X3矩阵A的特征值，求(A2-2A+7E3)的行列式.
解设多项式g(x)=x2-2x+7,若入是A的特征值，则gQ)是g(A)的特征值,所以g(A)的特征
值为6, 10, 7,从而g(A)可对角化，g(A)与下面对角形矩这相似
6
0
0、
0
10
0
0
0
所以(A2-2A+7E3)的行列式为420.
设(X1，&是A的属于不同特征值的特征向量，证明：ai+(X2不是特征向量.
证设(X】，&是A的分别属于特征值入左的特征向量，X*,假设
(Xl+012也是A的某个特征值入的特征向量，则有
A(ai+a2)=入(ou+(i2)=A(xi+&2
另一方面 A(ai+a2)= Aai+Aa?= %i(xi+入
从而入a 1 +Xa2=入1 a 1 +入2(X2
即 (X-Xi )a 1 +(X-X2)a2= 0
这与ai，&线性无关相矛盾，说明ai+a2不是特征向量.
在实数域R上，下面的矩阵A是否可对角化？如果A可对角化,则求可逆矩阵C,使C』AC
是对角矩阵.
'0
0
1)
(1 0
‘13 0、
①
0
1
0
②
3 2
-1
③
3 -2 -1
0
<1 0
1>
E T
解①因为|XE-A|=
2
0
-1
0
2-1
-1
0
2
二(入+1)( VI)2
所以A的特征值人1=-1,
解方程组
(・1E-A)X=O,
-1
0
-1
0
-2
0