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第九章 欧氏空间
,而
, ,
在中定义内积,
证明在这个定义之下, 成一欧氏空间；
求单位向量
, , … , ，
的度量矩阵；
具体写出这个空间中的柯西—布湿将其分别与取内积，可得方程组
，
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由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。
证 设
为上三角矩阵，则也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以，即
，
所以，因而
为对角阵。再由知，即证或-1。
14．1）设A为一个n阶矩阵，且，证明A可以分解成
A=QT，
其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵
，
且，并证明这个分解是唯一的；
2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使
。
证 1)设A的n个列向量是由于，因此是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
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，
其中
，
，
其中。即
，
令，则T是上三角矩阵,且主对角线元素。
另一方面，由于是n维列向量，不妨记为
，
且令
，
则有,由于是一组标准正交基，故是正交矩阵。
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再证唯一性，设是两种分解，其中是正交矩阵，是主对角线元素大于零的上三角阵，则，由于也是正交矩阵,且为上三角阵，因此, 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是的主对角线元大于零，所以的主对角线元只能是1，故，即证。进而有,从而分解是唯一的。
2)因为是正定的，所以与合同，即存在可逆阵使,再由1)知,其中是正交矩阵为三角阵，所以。
，定义，
证明:1)是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2) 是第二类的；
3)如果维欧氏空间中正交变换以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间的维数为，那么是镜面反射。
证:1),有:
，
所以是线性变换。
又因为
，
注意到，故,此即是正交变换。
2)由于是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基,则
，
即 ，
所以是第二类的。
3) 的特征值有个，由已知有个特征值为1，另一个不妨设为
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，则存在一组基使，
因为是正交变换，所以，
但，所以，于是
现令，则是单位向量，且与正交，则为欧氏空间 的 一组基。又因为
，
，
，
所以 ，即证。
：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。
证:设是属于特征值的特征向量，即，则
，
于是 ，
令，可得，即证。
，其中为
1) 2) 3)
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4) 5)
解1）由
，
可得A的特征值为。
对应的特征向量为
将其正交单位化，可得标准正交基为
故所求正交矩阵为
且。
2）由，
可得 A的特征值为。
的特征向量为
的特征向量为
正交化，可得
，
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再单位化，有:，
于是所求正交矩阵为
且。
3）由，
可得 A的特征值为，
相应的特征向量为
，
，
将其正交单位化，可得标准正交基为
，
，
故所求正交矩阵为
且。
4）由，
可得A的特征值为。
相应的特征向量为
，
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，
正交化后得
，
，
再单位化，可得
，
，
故所求正交矩阵为
且 。
5）由，
可得的特征值为。
相应的特征向量为
，
，
将其正交化，可得
，
，
再单位化后，有
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，
，
故所求正