文档介绍：第二讲 二次函数综合问题
二次函数是中学代数的根本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最根本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系mx+2m+1=0
(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围
(2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围
命题意图 此题重点考查方程的根的分布问题
知识依托 解答此题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义
错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答此题的难点
技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制
解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
∴
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力
例5 函数。
〔1〕将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；
〔2〕函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
〔3〕设，的最小值是且，求实数的取值范围。
解：(1)
(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以
，
于是
即
〔3〕.
设，那么.
问题转化为：对恒成立. 即
对恒成立. 〔*〕
故必有.〔否那么，假设，那么关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证〔*〕成立.〕，此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，
解之得：.
此时，，故在取得最小值满足条件.
2. 数形结合
二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.
二次函数的图像关于直线对称， 特别关系也反映了二次函数的一种对称性.
例6 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.
解：由题意 .
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ，
即 ，故 .
二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根.
例7 二次函数，设方程的两个实数根为和.
〔1〕如果，设函数的对称轴为，求证：；
〔2〕如果，，求的取值范围.
分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设，那么的二根为和.
〔1〕由及，可得 ，即，即
两式相加得，所以，;
〔2〕由, 可得 .
又，所以同号.
∴ ，等价于或,
即 或
解之得 或.
因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
例8 二次函数，当时，有，