文档介绍：关于随机振动的响应分析
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第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统
§7-2 多输入多输出的线性系统
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本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下，激下，由于输入的自谱密度对于所有的频率都是常数，则响应的均方值公式可得到简化:
只要计算出如下的广义积分I值，便可求得响应的均方值：
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由互相关函数的定义，可得激励与响应之间的互相关函数:
五、激励与响应的互相关函数
常参数线性系统在受到平稳随机输入时，激励与响应之间的互相关函数正好等于脉冲响应函数与输入自相关函数的卷积
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对互相关函数表达式作傅立叶变换，便可得到激励与响应之间的互功率谱密度。
六、激励与响应的互谱密度
与前面计算响应自谱相似的方法，将上式改写为：
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上式第一个积分是频率响应函数H(ω)，
第二个积分就是激励X(t)的自谱密度SX(ω)
上式表明：输入与输出之间的互谱密度等于系统的频率响应函数与输入自谱密度函数的乘积。
通过该式可完整地确定系统的频率特性H(ω)。
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由于H(ω)是复数，它可表示为:
则互谱密度可以表示为:
由于SX(ω)是实偶函数，则互谱密度函数可表示为：
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上式表明：互谱密度的幅值等于系统的增益因子与 输入自谱的乘积
互谱密度的幅角又等于系统的相位因子。
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七、相干函数
系统输入与输出的谱相干函数（又称凝聚函数）可通过下式来定义：
SX(ω)和SY(ω)皆为实函数，故相干函数必为实函数。
可以证明，对于所有频率ω，相干函数满足以下不等式：
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当输入与输出互不相关时，有RXY(τ)=0，从而互谱密度SXY(ω)=0，于是由定义知相干函数也等于零。
对于线性系统，存在下列关系
在线性系统的假设下，输入输出线性相关，有
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输入输出互不相关时，相干函数的值等于0；
输入输出线性相关时，相干函数等于1。
相干函数的值在0与1之间。
如果相干函数值大于零但小于1，为以下三种情况之一
联系输入X(t)和输出Y(t)的系统是非线性的
(2) 测量中有外界噪声干扰
(3) 输出Y(t)是输入X(t)和其它输入的综合输出。
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如图所示的单输入线性系统，假定只在输出测量中混有噪声，则实测得到的输出Z(t)是真实输出Y(t)与噪声干扰N(t)之和。
N(t)
Z(t)
H(ω)
X(t)
Y(t)
只讨论一种存在噪声干扰的情况：
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假定X(t)与N(t)皆是均值为零的平稳随机过程，且N(t)与X(t)和Y(t)都是不相关的，则有：
输入与实测输出之间的互相关函数：
故有:
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实测输出的自相关函数
实测输出的自谱密度
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输入X(t)与实测输出Z(t)的谱相干函数:
得到
将互谱密度与自谱密度式代入上式，并结合下式
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上式表明：在有噪声干扰的情况下，输入与实测输出的谱相干函数将小于1。因此，对于线性系统，可借助相干函数值来判断干扰影响的大小。
此外：
虽输出中含有干扰，但通过实测信号的互谱密度以及输入信号的自谱密度可以精确的获得系统的频响特征
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多输入多输出的线性系统
考虑某一具有m个输入Xi(t) (i=1,2,…, m)和n个输出Yk(t) (k=1,2,…, n)的常参数系统，假定每个输入Xi(t)都是平稳的随机过程。
在系统有m个输入Xi(t)的情况下，对应于每一个输出Yk(t)，有m个脉冲响应函数：
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对于n个输出，则共有n×m个脉冲响应函数，脉冲响应以矩阵形式可表示为：
矩阵中各元素均加以两个脚标
第一个脚标k(k=1,2,…, n)表示k处的响应(输出)；
第二个脚标i(i=1,2,…, m)表示i处的激励 (输入)
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频率响应函数是脉冲响应函数的傅立叶变换，因此，图示系统共有n×m个频率响应函数，频率响应矩阵H(ω)可表示为
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已知系统的激励和动态特性，便可确定系统响应的各个统计特征。
m个输入和n个输出 可以表示为
一、响应的均值
对于线性系统，每一个输出Yk(t) (k=1,2,…, n)都可以由对应于每个独立输入的响应Yki(t) (i=1,2,…, m)叠加而