文档介绍：关于二次型正定惯性指数
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一、 用配方法化二次型为标准形
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令
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实对称矩阵A
经过非退化线性替换
关于二次型正定惯性指数
现在学****的是第1页，共19页
一、 用配方法化二次型为标准形
现在学****的是第2页，共19页
令
现在学****的是第3页，共19页
实对称矩阵A
经过非退化线性替换
二次型 f 化为:
存在可逆矩阵C,使得
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二、 用正交替换化二次型为标准形
实对称矩阵A
存在正交矩阵Q,使得
存在正交矩阵Q,使得
QTAQ=
A的所有特征值
实对称矩阵A
经过正交替换
标准形
二次型化为：
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例1 用正交替换化二次型
为标准形,
解 二次型对应的矩阵为
特征值：
再将 单位化,得
将1,2正交化得
并写出所作的线性替换.
是正交矩阵
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是正交矩阵
经过非退化的线性替换
二次型化为
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例1 考虑二次型
有
称此二次型是正定二次型.
相应的矩阵
为正定矩阵.
设实二次型
f ( x1 , x2 , … , xn ) = XTAX ( AT = A ) ,
如果对任何
则称二次型
A称为正定矩阵.
是正定二次型.
X = ( x1 , x2 , … , xn )T o，有
例1 二次型
对任何
为正定二次型
X = (x1 , x2 , …, xn )T o，
二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) = x12 + x22 + … + xr2 ( r < n)
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§ 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) = x12 + x22 + … + xr2 ( r < n)
对x = ( 0 , … , 0 ,
f (x1 , x2 ,…, xn ) = 0 .
xr+1 , … , xn )T o
，有
故二次型
不是正定二次型.
例1 二次型
为正定二次型
对任何
X = (x1 , x2 , …, xn )T o，
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|A|大于零
二、二次型正定性的判别
如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢?
以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件.
准则1
准则2
f 的正惯性指数为n
f 正定
准则3
A的特征值都大于零
对称矩阵A为正定矩阵
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称为矩阵A的顺序主子式.
准则4 对称阵A为正定矩阵
A的顺序主子式都大于零.
例1 判别下列矩阵或二次型是否正定
∴ A正定
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例1 判别下列矩阵或二次型是否正定
解 二次型对应的矩阵为：
∴该二次型正定
∴ A正定
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例2 取何值时,下面的二次型正定
解 二次型对应的矩阵为：
当 时，二次型正定.
Ex2: 取何值时,下面的二次型正定
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B正定.
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三、二次型的有定性
也不是 负定的.
有
二次型 是正定的
有
二次型 是负定的
有
二次型 是半正定的
使
有
二次型 是半负定的
使
例 二次型
不是 正定的;
(半)
(半)
此时
称为不定的.
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矩阵A负定
矩阵 正定.
即奇数阶顺序主子式小于零，
偶数阶顺序主子式大于零.
A的顺序主子式都为负.
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