文档介绍：浙江省温州市龙湾中学数学组2022年优秀案例集
温州市龙湾中学数学组
优
秀
案
例
集
“09数赛〞引发探究性学习的一个案例
温州市龙
师：看来09全国数学竞赛考了，09高考也考了，同学们能否探究它的逆命题是否成立？
问题1 己知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a , 2b〔a>b>0〕,A,B分别为椭圆上的两点，，试研究是否成立？
生8：证明：由题意椭圆方程为 ，因为
〔1〕当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，不妨设OA所在的直线的斜率为0，那么 由〔1〕得 从而有
〔2〕设OA所在的直线斜率为，OB所在的直线斜率为
由得所以
同理可得，所以 化简得
师：大胆探究，小心化简。〔边巡视边提示〕
由此可见，不一定成立。当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，或当OA,OB所在的直线的斜率异号时，成立。
师：我们今天仅对椭圆行进了研究，我们把这一问题想开去。这个问题在双曲线中、抛物线中又怎样？课后分组讨论、交流。以下的问题有老师提出的，有同学提出的步，最后搜集整理如下：
问题2：己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b〔b>a>0〕 , A , B分别为双曲线上的两点，，求证：为定值
小组1：证明：〔1〕因为b>a>0，，所以OA、OB所在的直线的斜率一定存在且不为0 〔2〕只需把探究1中的结论换成就可得〔定值〕
问题3： 己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b〔b>a>0〕 , A , B分别为双曲线上的两点，，试研究： 是否成立？
小组1： 证明：仿照椭圆知：不一定成立，也即命题2的逆命题不成立。当且仅当OA,OB所在的直线的斜率异号时，才成立。
小组1例举：双曲线的离心率为，右准线方程为 〔Ⅰ〕求双曲线的方程；〔Ⅱ〕设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值..〔2022北京高考卷理19〕
小组1解:〔Ⅰ〕由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.
〔Ⅱ〕由直线是圆上动点处的切线，
与双曲线交于不同的两点可知：的边AB上的高为定值,
OA,OB所在的直线的斜率异号
又由命题2知：，
∴ 的大小为..
问题4 己知抛物线E：〔p >0〕, A , B分别为抛物线上的两点，，求证：直线AB恒过定点
小组2证明：由题意可设OA所在的直线的斜率，
那么OB所在的直线斜率为
由得
同理可得，所以直线的斜率为
∴直线的方程为
又在上述方程令,得 ∴直线AB恒过定点C
问题5：己知抛物线E：〔p >0〕, 过点C作直线AB交抛物线于A , B两点，求证：
小组2证明：证明：由题意可设OA所在的直线的斜率，OB所在的直线斜率为
由得 同理可得，
〔1〕假设即轴时，,，
显然成立
〔2〕时，那么直线的斜率为
∴直线的方程为,
∵直线过C
∴将，代入上述方程得 ∴
综合上述：
小组2例举：己知抛物线〔p>0〕, A , B分别为抛物线上的两点，
，过O作于M，求：M点的轨迹方程
〔2022上海春高考卷理22〕
小组2解：由命题3可知：直线AB恒过定点C
∵于M
∴M点的轨迹是以线段OC为直径的圆且原点O除外
∴所求M点的轨迹方程为：
5教后启示
〔1〕本节课在参加09数赛同学的提示下，通过对2022年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对圆锥曲线中的简单研究，并结合2022年全国及各省市高考及举例说明这类问题的一些常规应用来复习了圆锥曲线，起到了意想不到的效果〔2〕在研究性学习中，师生之间是轻松和谐气氛中进行。教师要不断吸取新的知识，投入新课程教学研究中，才能适应时代的开展。教师要乐意，虚心地接受学生的见解、观点。实现“沟通、理解、创新〞，培养学生的学习兴趣与创新精神。荷兰著名的教育专家Ｈ·费赖登塔尔指出：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的〞。因此作为数学教育工作者应加强对案例教学法的研究、应用，使案例教学法在中学教学课堂上展现无穷魅力。〔3〕圆锥曲线往往是高考压轴题，看来其题源来于课本，变于课本，高于课本。这让我们一线的数学教师反思：怎么教？学生怎么学?根底怎么去落实？解决问题的通性通法是什么？在教学中多问“为什么？还有么？〞等等。学思结合，举一反三，根底知识的掌握和落实尤为重要，课本中的定义、定理、例题、习题要吃透、消化，
高三复习要回归课本。我认为这正是高考命题专家的用心良苦，也说明专家们驾驭课本的能力，知识的渊