文档介绍：第5章轨迹规划
在前面的机器人运动学分析中：
引入齐次坐标，将机器人位置和姿态有效表达；并将机器人杆件与运动坐标系相固连—将机器人运动转化
引入相对参考坐标系的绝对运动和相对运动坐标系的相对运动—机器人空间位姿和关节电机控制关节空的路径运动。
这种运动称为连续路径运动或轮廓运动(CP)
3 障碍约束轨迹规划
关节空间的轨迹规划
一、三次多项式的轨迹规划
假设机器人某一关节的运动方程是三次的
注意：这里均为关节量而不是笛卡尔坐标空间量
从上例可以看出，若我们已知开始和终止时刻的角度以及角速度，那么就可以求得，进而求得关节的运动方程。
三次多项式轨迹规划特点：
1 尽管每一个关节都是分别计算的，但是在实际控制中，所有关节自始至终都是同步运动；
2 如果机器人初始和末端速度不为零，可以通过给定数据得到未知数值；
3 如果要求机器末端人依次通过两个以上的点，则每一段求解出的边界速度和位置均可作为下一段的初始条件，其余相同；
4 位置、速度连续，但是加速度不连续。
：已知一个关节在5秒之内从初始角30度运动到终端角75度，使用三次多项式计算在第1，2，3，4秒时关节的角度。（假设在开始和终止的瞬间关节的速度是0)
解：由题意可得到
由此得到位置，速度和加速度的多项式方程：
我们可以进一步画出关节的位置，速度和加速度曲线
可以看出，
运动末端的角加速度为-。
例题：
，要求在其后的3秒内关节角到达。画出该运动的位置，速度和加速度曲线。
思路点拨：可将第一运动段末端的关节位置和速度作为下一运动段的初始条件。
解：
进而可以画出以下曲线
为保证机器人的加速度不超过其自身能力，应考虑加速度的限制。
根据此式可计算出达到目标所需要的时间
二、五次多项式轨迹规划
，若采用五次多项式，若再已知初始加速度和末端减速度均为5 度/秒2 ，其他条件不变，试画出三条相应曲线。（边界条件变为6个）
根据这些方程，可以通过位置、速度和加速度边界条件计算出五次多项式的系数。
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就相当于一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说明在起点和终点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬间达到匀速状态。但很显然这是不可能的，因此在起点和终点处，可以用抛物线来进行过渡。如图所示
显然，这个抛物线运动段的加速度是一常数，并在公共点A和B上产生连续的速度。将边界条件代入抛物线段的方程，得到：
从而给出抛物线段的方程为：
假设ti和 tf时刻对应的起点和终点位置为和，抛物线与直线部分的过渡段在时间tb和tf-tb处是对称的，因此可得：
显然，对于直线段，速度将保持为常值，它可以根据驱动器的物理性能来加以选择。将零点速度、线性段常值速度以及零末端速度代入
和中，可以得到A、B点以及终点的关节位置和速度如下：
显然，不能大于总时间的一半，否则在整个过程中将没有直线运动段而只有抛物线加速和抛物线减速段。由上式可以计算出对应的最大速度。应该说明，如果运动段的初始时间不是0而是，则可采用平移时间轴的办法使初始时间为0。终点的抛物线段是对称的，只是其加速度为负。
由上式可以求解过渡时间：
进而由上式可以解得过渡时间：
因此可表示为：
，机器人关节1以速度 =10度/秒在5秒内从初始角运动到目的角。求解所需的过渡时间并绘制位置、速度和加速度曲线。
解：代入相应公式可得到（tf=5秒）
曲线如下图所示：
四、具有中间点及用抛物线过渡的线性运动规划
实际应用的机器人工作经常是多个运动段组成，第一个运动段末端点后，还将继续向下一点运动，因此这一点可能是起点、中间点、终止点，必须采用各运动段间过渡方法解决时停时走运动问题。
实际上，把所有中间路径点既看作“下一段起始点”也看做“上一段终止点”，相对应可以通过运动规划函数求出该点的直角坐标空间的“位置”“速度”插值分量以及该点的关节坐标空间的“位置”“速度”插值分量，将所有这些插值分量连接起来就得到直角坐标空间的机器人路径和关节坐标空间的关节变化。但在这些“起始点”“终止点”关