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空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法 业
所以=+0+(-)=-
两类曲线积分的性质以及联系：
虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的性质，但在一定的条件下，如在规定了曲线方向之后，可以建立他们之间的联系。
设L为从A到B的有向光滑曲线，它以弧长s为参数，于是
L 0<s<l
其中 L为L的全长，且A与B的坐标分别为(x(0),y(0))(x(l),y(l)).曲线上每一点的切线方向指向弧长增加的一方，现以（t,x）(t,y)分别表示为切线方向t与x轴与y轴正向的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是
=, 1
若P（x,y）,Q(x,y)为曲线L上的连续函数，则有：
Q(x(s),y(s)ds
= 2
最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式，这里指出当二式左边第二型曲线积分的L改变方向时，积分值改变符号，相应在二式右边第一型曲线积分中，曲线上各点的切线方向指向相反的方向，（即指向弧长减少的方向）这时的夹角（t,x）,(t,y)分别与原来的夹角相差一个弧度，从而都要变号，因此一旦方向确定了公式2总是成立的，这样根据条件1和2便成立了两种不同类型的曲线积分之间的联系。
3 空间曲面积分的方法：
第一曲面计型算方法设S为空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S作分割T，把S分成n个小曲面块(i=1,2,3.......),以记小曲面块的面积，分割T的细度=，在任取一点（）（i=1,2,3,4........）,若极限
存在，且与分割T与 （）(i=1,2,3.......)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在
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上的第一型曲面积分，记着
特别的，当f(x,y,z)=1时，曲面积分就是曲面块S的面积。
例三：计算,其中S是球面++=被平面z=h(0<h<a)所截得的顶部
解：曲面S的方程为z=,定义域D为圆域：+《-
由于=所以由公式可求得
=dxdy=rdr
=2 =-a
对于由参数形式表示为的光滑曲面：
在D区域内
则在S上第一型曲面积分的计算公式为
dudv其中
这里还要求雅可比行列式,,中至少有一个不等于零。
第二型曲面积分
设P,Q，R为定义在双层曲面S上的函数，在S所指的一侧作分割T，它把S分为n个小曲面，，........分割T的细度∣∣T∣∣=的直径，以,,
分别表示为在三个坐标平面内 的投影区域面积，他们的符号由的方向来确定。若在xy平面的投影区域的面积为正。反之若
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一点（）若
++存在
且与曲面S的分割T和在上的取法无关，则称此极限为函数P，Q，R在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记做
dydz+Qdzdx+Rdxdy
++
例四：计算++x>0,y>0部分并取球外侧
解：曲面S在第一，五卦限部分的方程分别为：
=
=-
他们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分，依题意，积分是沿上侧和的下侧进行，所以
= dxdy-dxdy
=2dxdy
=2dr=
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如果光滑曲面S由参量方程给出：
S：
若在D上各点它们函数行列式：,,
不同时为零，则分别有：
=dudv
dudv
两类曲面积分积分的联系：与曲线积分一样，当曲面的侧确定后，可以建立两类曲面积分的联系。设S为为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S