文档介绍：§
［学****目标］
.能建立放射性废物的处理问题的数学模型；
.会求解放射性废物的处理问题的数学模型；
.能用放射性废物的处理问题的数学模型解决一些实际问题。
环境污染是人类面临的一大公害，放射性污染对人线性非齐次微分方程，其解为
cgwt
C
由(3)式知，圆桶的速度为时间t的函数，要确定圆桶同海底的碰撞速度，就必须算出圆桶碰到海底所需的时间to遗憾的是，不可能作为y的显函数求出t,所以不能用方程(3)来求圆桶同海底的碰撞速度。但从方程(3)可以得到圆桶
的极限速度VT ,当t T
WB
时，VLc
C
显然有v(t)<Vt=(W-B)/c,,那么圆桶就不
可能因同海底碰撞而破裂。然而
W--2135.,

c0119.
这个数值太大了，还不能断定v(t)。
下面转而把速度v作为位置y的函数v(y)来考虑：
我们有 v(t ) - v[ y(t )]
,由复合函数微分法,
= -dv • dy- = v-dv dy dt dy
dvdt代入(1)式中，得
-Wvdv=W-B-cv
gdy
显然初始条件为v(0)=0o
为了得到速度v与位置y之间的一个关系式，采用如下方法
vrdrygg
-ds-一y
■■
0WBcr0WW而左端
vr-d-r-1v—crWBdrWBvdr
0W-Bcrc0WBcrc0W-Bcr
1vWBvdr
===4dr,:
—B一cr
vW—BW—B—cv二——jinL
2_
cc2WB
前面已讨论(W-B)/c是极限速度，vv(W—B)/c,因而W—B-cv>0,于是
gy_vW2-BlnW-B-cv(4)
WccWB
算到这里，又使我们失望，因为不能从(4)式中解出v是y的显函数来，因此
要利用v(y)来计算v()>。但利用微分方程数值解
法，借助于计算机很容易解得v()=
v ()的一个很好的近似值
(5)
),并用u代替V,以示区别，得
(6)
另外，我们还可以用其它的方法得到圆桶的速度v(y)满足初值问题
Wdv
—vW_B_cv
gdy
v(0)-0
在()中令c=0(即不考虑水的阻力
Wudu_WBgdyu(0)—0
直接积分(6),2得
W-=(W_B)—2g(WB)y
2gW
由此可得
.
u(915.)-
23946.
r-・
u()就是v()的一个很好的近似值，其理由是：(1)当不存在与运动方向相反的阻力时，圆桶的速度总会大一些，因此
v()<u().
(2)当y增加时，速度v增加，,有v(y)三v().()。
然而使圆桶向下的合力(W-B),比D大得多,因而忽略D无关大局。所以可以认为u(y)是v(y)的一个很好的近似值。实际上正是如此，用数值解法算