微分方程公式总结.docx

文档介绍：g ( y) dy
f ( x) dx
1. 可分离变量的微分方程 初值问题
y0
y x x 0
y
x
的解为g(y)dy
f ( x)dx
y 0
x0
一阶线
g ( y) dy
f ( x) dx
1. 可分离变量的微分方程 初值问题
y0
y x x 0
y
x
的解为g(y)dy
f ( x)dx
y 0
x0
一阶线性微分方程 dy P( x) y Q( x) 的通解公式为 dx
P( x)dx
(
Q(x)e
P( x) dx
C)
y e
dx
dy
P(x) y
Q(x)
3. 初值问题
dx
的解为
y x
x 0
y0
x
x
x
P( x) dx
P ( x ) dx
x0
dx y0)
ye x 0
( Q( x)e
x0
4. 齐次型方程 dy
( y)
u
y
y
ux于是有 dy
u
x du
dx
x
x
dx
dx
便得到 u
x du
(u) 这是一个可分离变量的微分方程。
dx
分离变量后积分
du
dx
(u)
u
x
5. 可化为齐次型的方程 dy
ax
by
c
其中 a1 b1
dx a1x b1 y c1
a b
当 c c1 0 时方程是齐次型的， 否则是非齐次型的。 在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。作代换
X h, y Y k
dY
aX
bY
(ah
bk
c)
ah bk
c
0
dX
a1 X
b1Y
(a1h b1k
c1) 再令 a1h b1k
c1
0 可定出 h 和 k
6. 伯努利方程 dy
P( x)y
Q( x) y
(0,1)
dx
作代换 z
y 1
则 dz
(1
) y
dy
，于是有
dx dx