文档介绍：实变函数教案
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1 不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)
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1 不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)
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证明：假设［0,1］是可数集,则 [0,1] 可以写成一个无穷
序列的形式：
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数的进位制简介
十进制小数 相应于 对[0,1]十等分
二进制小数 相应于 对[0,1]二等分
三进制小数 相应于 对[0,1]三等分
说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如
…
… （十进制小数）
第一次十等分确定第一位小数
第二次十等分确定第二位小数
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不可数集的存在性的另一种证明
证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷
序列的形式：
把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）
令x=…
其中
则得到矛盾，所以
(0,1)是不可数集。
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定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，
其势记为 ， 显然：
例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ <a,b> (a<b)
2 连续势集的定义
2）无理数集为连续势集
（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）
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3 连续势集的性质（卡氏积）
（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集
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1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证
明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，
他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具
有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说：
“我看到了它，但我简直不能相信它”.
推论
平面与直线有“相同多”的点
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连续势集的性质（并集）
连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集
( ]( ] ( ]
0 1 2 n-1 n
( ]( ] ( ]
0 1 2 n-1 n
y
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4 无最大势定理
从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.
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此证为对角线方法，与(0,1)
是不可数集的证明比较。
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尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论.
因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们
要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.
集合悖论
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证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与{0,1}N对等；下证：
说明：相当于把 对应到一个三进制小数
5 可数势与连续势
思考：为什么不用二进制。
N上的特征函数全体
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