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文档介绍：第八章 欧氏空间
小结与复****br/>本章知识结构
一、欧氏空间的定义
定义1 设V是实数域R上的向量空间. 如果有一个映射f : V×V→R，(, ) →f(, )，为方便，将f(, )记作 , ，它具有以下性质) 当且仅当与正交时, |  +  |2＝| |2 +
|  |2〔通常称(ii)为欧氏空间的勾股定理〕.
定理 设, , 是欧氏空间V中任意三个向量, 那么
(i) d (,  )＝d (, );
(ii) d (,  )  0, 当且仅当＝ 时等号成立;
(iii) d (, )  d (,  ) + d (,  ).
三、度量矩阵
设V是一个n维欧氏空间, 取V的一个基{1, 2, …, n},
对称矩阵A＝(aij)nn称为基{1, 2, …, n}的度量矩阵.
其中aij ＝i, j , (i, j＝1, 2, …, n)
定理 n维欧氏空间V的两个基的度量矩阵是合同的, 且度量矩阵是正定的.
四、正交基定义2 在n维欧氏空间中, 由n个向量组成的正交向量组称为正交基, 由单位向量组成的正交基称为标准正交基.  设{1, 2, …, n}是一个标准正交基, 由定义有
它的度量矩阵A＝I, 换句话说, 一个基为标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵.
定理 n维欧氏空间V中任一正交向量组都能扩充成一正交基.
五、正交变换
定义1 欧氏空间V的线性变换称为正交变换, 如果它保持任意两个向量的内积不变, 即对任意, V，有
 (),  ()＝, .
定理 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变换, 那么下面四个命题等价.
(i) 是正交变换；
(ii) 如果{1, 2, …, n}是标准正交基, 那么{ (1),  (2), …,  (n)}也是标准正交基；
(iii)  在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵；
(iv) 任意的V, | ()|＝| |.
正交变换的乘积还是正交变换；每个正交变换都是可逆线性变换，且其逆变换还是正交变换.
正交矩阵的行列式等于1或－1.
六、对称变换
定义2 是欧氏空间V的一个线性变换. 如果对V中任意两个向量, , 都有
〈 (), 〉＝〈,  ()〉，
那么称为一个对称变换.
定理 n维欧氏空间V的线性变换为对称变换的充分必要条件是在任一标准正交基下的矩阵为对称矩阵.
七、子空间与正交性
设V是欧氏空间, 当然V是向量空间. 假设W是向量空间V的子空间, 那么W对V的内积运算显然也作成V的一个欧氏子空间, 简称子空间.
定义1 设W1, W2是欧氏空间V的两个子空间, 如果对于任意的W1, W2, 恒有
〈, 〉＝0.
那么称W1与W2正交, 记为W1 W2.
设V. 如果对任意的W1, 恒有
〈, 〉＝0，
那么称与子空间W1正交, 记为  W1.
设V. 假设 ，那么＝0. 因此，当W1W2时，W1W2＝{0}.
如果子空间W1, W2, …, Ws两两正交, 那么和
W1＋W2＋…＋Ws
是直和.
八、正交补的概念及其性质
定义2 子空间W2称为子空间W1的一个正交补, 如果W1W2, 并且W1＋W2＝V.
n维欧氏空间V的每一个子空间W都有唯一的正交补.
W的唯一的 正交补记为W
设W是欧氏空间V的子空间. 那么W恰由V中与W正交的所有向量组成. 即
W＝{V |  W }.
九、欧氏空间的同构
定义3 欧氏空间V与V 称为同构的, 如果有V到V 的一个双射, 且适合
1)  (＋)＝ ()＋ ()；
2)  (k)＝k ()；
3)〈 (),  ()〉＝〈, 〉.
这里, V, kR. 这样的映射称为V到V 的同构映射.
定理 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数
十、利用正交矩阵化实对称矩阵为对角形
为求出正交矩阵T，利用§，使P－1AP