我的矩阵分析总结.doc

文档介绍：矩阵分析期末复****br/>判断一个集合是否为线性空间
只需要验证2条：加法封闭性； 乘法封闭性
例：
1）
2）
3)
判断一组基是否为标准正交基
验证2条：各个向量的模是否为1； 两两向量内积矩阵分析期末复****br/>判断一个集合是否为线性空间
只需要验证2条：加法封闭性； 乘法封闭性
例：
1）
2）
3)
判断一组基是否为标准正交基
验证2条：各个向量的模是否为1； 两两向量内积是否为0
例：a1 = (0,1,0)，a2 = (12,0,12)，a3 = (12, 0, 12)
构成R3的一个标准正交基，因为：
| a1 | = | a2 | = | a3 | = 1
< a1 , a2> = < a1 , a3> = < a2 , a3> = 0
求一个线性变换的核T-1（0）、象集T(V)
例：
(1)证明T(x1,x2,…,xn) = (0, x1, x2, …, xn-1)是线性空间Pn的线性变换且Tn = 0 (零变换).
(2)求T的核T-1（0）的维数、象集T(V)的维数
证明：
由线性变换的定义，易证T是线性变换，又因
T2(x1, x2, … ,xn)
= T(0, x1, x2, …, xn-1)
= (0, 0, x1, x2, …, xn-2)
…
= Tn(x1, x2, … ,xn) = (0, 0, …, 0)
即Tn = 0（零变换）
若T(x1, x2, … ,xn) = (0, x1, x2, …, xn-1) = (0, 0, …, 0)
则x1 = x2 = … = xn-1 = 0.
即T-1（0）为由一切形如(0, 0, …, xn)的向量构成的子空间，它是一维子空间，(0, 0, …, 1)是它的基。
用最小二乘法解方程组
例：用最小二乘法解下列方程组
x1+x2 = 1
x1+x3 = 2
x1+x2+x3 = 0
x1 +2x2 – x3 = -1
解：
系数矩阵A =**********-1，其转置AT = **********-1，B =120-1
利用公式ATAX = ATB，有
ATAX =44461-11-13x1x2x3=2-13= ATB
于是求得最小二乘解为：
x1 =176, x2 = - 136,x3 =- 46
求矩阵的史密斯标准型
初等行、列变换
例：求多项式矩阵A( λ ) = 0λλ（λ-1）00λ+10 0 -λ+2的史密斯标准形
答案：d1(λ) =1，d2(λ) =λ， d3(λ) =λ(λ-1)( λ-2)
求矩阵的约当标准形
例：求矩阵A的约当标准形，其中
A = -1-2-1063-1-14
step1:先求矩阵A的史密斯标准形;
step2:再写出不变因子、初级因子，令初级因子等于0，求解;
step3:最后写出约当标准形.
判断一个矩阵级数是否收敛