文档介绍：沈阳农业大学理学院第
学期期末考试
得分
《高等代数》试卷（1）
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分
、填空（共35分，每题5分）
42
.设沈阳农业大学理学院第
学期期末考试
得分
《高等代数》试卷（1）
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分
、填空（共35分，每题5分）
42
.设f(x)xx4x9，则f(3)69..
3
.当t2,-,f(x)x3xt有重因式。
x 1整除，则
3..
.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x)xg(x)被x
f(1)0_,g(1)_0.

3
1
1
3
1 0 2
0 6 2
0 1 1
2 0 1

410
9 2 1
9 9 11
1031113
.矩阵的积
2102201
134
1
500
.031
021
x12x22x3x40
.2x1x22x32x40的一般解为
x1x24x33x40
名姓
号学
:线级订班装
c5
x〔2x3-x4
3,x3,x4任意取值。
c4
X22x33x4
(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证(f(x),g(x))1当且仅当
得分
(f(x)g(x),f(x)g(x))1o
证：(f(x)g(x),f(x)g(x))1o(1%)
令p(x)为f(x)g(x),f(x)g(x)的不可约公因式,(1%)则由p(x)|f(x)g(x)知
p(x)|f(x)或p(x)|g(x)o(1%)
不妨设p(x)|f(x),再由p(x)|(f(x)g(x))得p(x)|g(x)。故p(x)|1矛盾。(2%)
(f (x)
从而 u(x) f (x)
g(x),f(x)g(x))1知存在多项式u(x),v(x)使u(x)(f(x)g(x))v(x)f(x)g(x)1,(2%)g(x)(u(x)v(x)f(x))1,(2%)
故(f(x),g(x))1。(1%)
三、(16分)a,b取何值时，线性方程组
有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
得分
a b 2 1
a 2b 1 3 1
a b b 3 2b 1
a 2 b 0 1
0 b 1 1 0
0 0 b 1 2b 2
a b 2 1
0 b 1 1 0
0 0 b 1 2b 2
(5%)
解：
2..一5b22b2
当a(b1)0时，有唯一解：x1，x2,x3;(4%)
a(b1)b+1b1
当b1时，有无穷解：x30,x21ax1，x〔任意取值;
当a0,b5时，有无穷解：x1k,x2i,x31,k任意取值；(3%)
当b1或a0且b1且b5时，无解。(4%)
得分
四、(10分)设a1，a2,...,an都是非零实数，证明
证:对n用数学归纳法。当
n=1
时，D1
一 1、，〜一
ai a1（1 —），结论成乂（2%）；
al
假设n-1时成立
1 a1
...1