文档介绍：曲面的法向量与切线方程
现在学习的是第1页，共27页
全微分
的应用
高阶偏导数
隐函数
求导法则
复合函数
求导法则
全微分形式
的不变性
方向导数
全微分
概念
偏导数
概念
曲面的法向量与切线方程
现在学习的是第1页，共27页
全微分
的应用
高阶偏导数
隐函数
求导法则
复合函数
求导法则
全微分形式
的不变性
方向导数
全微分
概念
偏导数
概念
微分法在
几何上的应用
多元函数
的极值
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练习题
1.
3.
4.
2.
5.
6.
现在学习的是第3页，共27页
1.
解
现在学习的是第4页，共27页
2.
解
令
z
u
x
y
z
型
u
x
y
z
型
现在学习的是第5页，共27页
3.
解
令
记
二阶偏
导连续
z
u
v
x
y
型
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u
v
x
y
型
u
v
x
y
型
现在学习的是第7页，共27页
4.
解
令
记
二阶偏
导连续
u
v
x
y
型
现在学习的是第8页，共27页
现在学习的是第9页，共27页
现在学习的是第10页，共27页
现在学习的是第11页，共27页
5.
解
设
则
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6.
解
令
记
则方程组为
方程组两端对 x 求偏导数：
现在学习的是第13页，共27页
方程组两端对 x 求偏导数：
现在学习的是第14页，共27页
的条件下，方程组有唯一解。
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7. 求曲线
（椭球面）
（球面）
上对应于 x = 1 处的切线方程和法平面方程。
8. 试证曲面
上任何点处
的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。
9.
求极值。
10.
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7. 求曲线
（椭球面）
（球面）
上对应于 x = 1 处的切线方程和法平面方程。
解
将 x = 1 代入方程组，
解方程组得，
x = 1 处的点为
将所给方程的两端对 x 求导，
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将所给方程的两端对 x 求导，
方程组有唯一解。
切向量
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切向量
切线方程
法平面方程
切向量
切线方程
法平面方程
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8. 试证曲面
上任何点处
的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。
证
曲面上任取一点 M (x0, y0, z0).
设
曲面在点 M (x0, y0, z0) 处的法向量
切平面方程
现在学面方程
点 M 在曲面上，因此
切平面方程
化为截距式
所以截距之和为
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9.
求极值。
解
函数的定义域：
令
解得
其中只有
是驻点。
因此，在(1, 2)处取得极小值
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10.
解
则
设
则问题就是在条件
下，
求
的最小值。
构造函数
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构造函数
由 (1), (3) 得
由 (2), (3) 得
代入 (4) 得
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由 (1), (3) 得
由 (2), (3) 得
代入 (4) 得
现在学习的是第25页，共27页
例已知曲面的方程为
证明：曲面上任一
点处的切平面通过某一定点。
解
设曲面上任一点为 M ( x0, y0, z0 ) .
曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为
切平面方程
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曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为
切平面方程
M ( x0, y0, z0 ) 是曲面上的点，
因此，
切平面方程
因此，曲面上任一点处的切平面均通过原点 (0, 0, 0)。
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