文档介绍：电路的拉普拉斯变换分析法
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拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性微分方程的工具。
设一个变量t的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条件（ 时间变换
若 f (t)
F (s)
L
L
0
t
f
(
t
)
0
t
t
0
f
(
t
-
t
0
)
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证明
令
t0 为常数
则
例
解
求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换
0
t
f
(
t
)
E
T
t
0
t
fa (t)
0
t
T
fc (t)
0
-E
T
f
b
(
t
)
=
+
+
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由线性性质
现在学移特性还可以用来求取有始周期函数(t≥0时呈现周期性的函数 ,在t＜0范围函数值为零)的拉普拉斯变换
f (t)为有始周期函数，其周期为T， f 1(t)、 f 2(t) …分别表示函数的第一周期，第二周期，…的函数
，
由于是周期函数，因此 f 2(t)可看成是 f 1(t)延时一个周期构成的， f 3(t)可看成是 f 1(t)延时二个周期构成的，依此类推则有
现在学移特性，若
则
f (t)为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子
例
求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换
0
t
E
T
2
3
T
2
5
T
2
T
2
T
f (t)
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解
先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换
0
t
E
f 1(t)
3
T
2
T
2
T
0
t
E
T
2
f 1b(t)
||
3
T
2
T
2
T
0
t
E
T
2
f 1a(t)
+
有始正弦函数的拉普拉斯变换为
故根据时间平移特性可得
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半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
现在学移特性
若 f (t)
F (s)
L
则
证明
时域微分特性
L
若 f (t)
F (s)
L
则
证明
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由上式应用分部积分法，有
式中
于是可得
应用上式的结果可得
依此类推，可得
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如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为
例
解
若电容元件C的端电压uC(t)的拉氏变换式为UC(s)
求电容C中电流的象函数IC(s)。
应用微分性质
IC(s)=L[iC(t)]=L[C
] =C[sUC(s) uC(0-)]= CsUC(s) CuC(0-)
dt
t
du
C
)
(
如果C的端电压初始值uC(0-)=0
IC(s) = CsUC(s)
则有
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时域微分特性
L
若 f (t)
F (s)
则
证明
对上式进行分部积分，得
=0
则
如函数的积分区间不由0开始而是由-∞开始
则因为
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故有
将积分性质广到多重积分
同前面—样，此处的0意味着0-
书中表7 – 2列出了拉普拉斯变换的基本性质。
则有
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拉普拉斯反变换
利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。
求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表
因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分分式法。
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利用拉普拉斯