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相关分析
相关关系的概念
现象间的关系有两种类型：
1．函数关系。指现象之间存在着严格的依存关系，即变量之间依一定的函数形式形成的一一对应的关系称为函数关系。
2．相关关2页，共53页
1．两个变量 y 、x 之间必须存在着真实的线性相关关系；
2．两个变量 y 、x 之间不是对等的关系，一个是因变量，一个是自变量。
3．因变量 y 是随机变量，自变量x是非随机变量，是给定的数值。
4．回归系数 b 有正负之分，b 为正值，则 x 与 y 之间正相关；b 为负值，x 与 y 之间负相关。
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一元线性回归模型的参数估计
一元线回归模型的 a、b 参数，通常采用最小二乘法估计。其要求是误差项 e 的平方和最小，即：
按照这一要求，要导出下列求解 a、b 参数的标准方程组：
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求解可得：
如果先做相关分析，后做回归分析，则a、b 参数：
[]
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回归模型的评价与检验
1．拟合程度的测定。因变量y的各个观测值点聚集在回归直线 周围的紧密程度，称为回归直线对样本数据点的拟合程度。通常用可决系数 来表示。计算公式为：
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称为回归平方和;
为离差平方和；
其中：
为剩余平方和（残差平方和）
三者的关系可表示为：
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可决系数 的取值区间为 [0，1] 。实际上，可决系数 是线性相关系数 r 的平方，因此，相关系数又可用下列公式求得：
r 的正负号与回归系数 b 的正负号相同， 越接近于1，表明回归直线对样本数据点的拟合程度越高。可决系数 的实用计算式为：
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2．估计标准误差。又称剩余标准差，它是评价回归直线代表性大小或实际值与估计值误差大小的综合性指标。计算公式为：
由估计标准误差sy和因变量y的平均值，可计算相对标准误差：
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3．回归系数 b 的显著性检验。回归系数 b 是一个估计值，若 y 与 x 之间不存在线性关系，则回归系数 b不具有显著性，所建立的回归方程是不能利用的。回归系数 b 的显著性检验采用 t 检验。其统计量为：
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根据给定的显著水平 α (通常 α = ) 和自由度，n－2，查t分布表得到临界值 ，若 ＞ ，则回归系数 b 具有显著性，若 ＜ ，则回归为系数 b 不具有显著性，即 b 与 0 的差异是不显著的。
4．回归方程的显著性检验。回归方程显著性检验是检验整个回归方程是否具有显著性，判断y与x之间是否存在真实的线性相关，亦即对相关系数r进行检验。回归方程的显著性检验采用F检验。首先计算回归方程的F统计量，计算公式为：
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然后，根据给定的显著水平α( 通常α= )及自由度 ( 1，n —2 ) 查 F 分布表得到临界值 F。若 F ＞ F α，则回归方程的回归效果是显著的； F＜ F α ，则回归方程的回归效果是不显著的。
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需要说明的是，对于一元线性回归方程而言，t 检验和 F 检验只要作任意一个检验即可。因为只有一个自变量，回归系数 b 具有显著性，则相关系数 r 必定具有显著性。但是，在多元回归分析中，二者之间并不是等价的。
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一元线性回归模型的应用
一元线性回归模型通过各种检验评价之后，则可利用回归模型进行有关问题的分析、预测和控制。其应用有以下几个方面：
1．边际分析和弹性分析。一元线性回归模型中的回归系数 b 就是平均边际变化率，它能说明 x 增加一个单位 y 能增加多少个单位。而要说明 x 增减1%，y 能增减百分之几，则可用下列公式测定平均弹性系数（E） 。
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2．临界点或平衡点分析。当一元线性回归模型中的 x 、y 是一种收支关系时，并且是根据横截面样本数据建立的回归模型，则可用来测定收支相等的临界点。即：y =a+bx 令x=y，则
3．利用回归模型进行预测。将自变量的预测值 代人回归模型可求得因变量的预测值 。作为与 相对应的 的预测值