文档介绍：矩阵的初等行变换与初等矩阵
现在学习的是第1页，共17页
学习目标
目标一
目标二
目标三
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理解什么是初等行变换
知道什么是初等矩阵
掌握初等行变换的应用
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矩阵的初等行变换与初等矩阵
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理解什么是初等行变换
知道什么是初等矩阵
掌握初等行变换的应用
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初等行变换的背景
1801年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数作为一个整体
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收获：线性方程组可以用矩阵来表示
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初等行变换的引入
将矩阵的两行对调
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第1行
第2行
第1个方程
第2个方程
两个方程对应也发生对调
对调矩阵两行的变换称为对换变换
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初等行变换的引入
将矩阵的第一行乘以2
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第1行
第2行
第1个方程
第2个方程
第一个方程对应也在等号两边同乘以2
矩阵某一行乘以一个常数的变换称为倍乘变换
注意：倍乘变换与矩阵数乘的区别
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初等行变换的引入
矩阵的第2行加上第1行乘以（-2）
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第1行
第2行
第1个方程
第2个方程
第二个方程对应也在等号两边
同时加上第一个方程的（-2）倍
矩阵某一行的倍数加到另一行上的变换称为倍加变换
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初等行变换
对换变换
倍乘变换
倍加变换
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矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
将矩阵的某两行对换位置
将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k
将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行
设方阵A经过若干次初等行变换后得到方阵B，如果A是非奇异的，则B也是非奇异的。反之亦然。
什么是非奇异
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例题讲解
例1．运用初等行变换将矩阵
转化成单位矩阵
解：
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对换变换
倍乘变换
倍加变换
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初等行变换的练习
练习．运用初等行变换将矩阵
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转化成单位矩阵
1、把主对角线上第一个元素变为1
2、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0
3、把主对角线上第二个元素变为1
4、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0
5、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为1
6、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的 元素变为0
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初等矩阵的引入
为什么在初等行变换的过程中，
矩阵之间是用箭头连接呢？
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请三位同学说出结果
红色框的三个矩阵与单位矩阵有何联系？
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初等矩阵
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三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到
将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称为初等矩阵
初等对换矩阵
由单位矩阵第i,j行对换得到，记作Eij
初等倍乘矩阵
由单位矩阵第i行乘k得到，记作Ei(k)
初等倍加矩阵
由单位矩阵第i行乘k加到第j行得到，记作Eij(k)
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课堂中段小结
初等行变换 初等矩阵
对换变换 初等对换矩阵
倍乘对换 初等倍乘矩阵
倍加变换 初等倍加矩阵
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初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵
矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？
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初等行变换的应用——求逆矩阵
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回顾：
因此有：
假设
都是初等矩阵，根据初等行变换的原理
结论：
初等行变换中省略的初等矩阵的乘积就是逆矩阵
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用初等行变换法求逆矩阵
解：
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例1（续）：用初等行变换求矩阵
的逆
初等行变换法（软件显示）
检验：
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练习
练习 用初等行变化求矩阵
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的逆
答案：
现在学习的是第15页，