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高等代数（北大*第三版）答案
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，，，
则即为所求的一组标准正交基。
,是V中一固定向量,
1)证明:V是V的一个子空间；
2)证明:V的维数等于n-1。
证 1),任取
则有 (，于是又有(，
所以。另一方面，也有 (， 即。故V是V的一个子空间。
2)因为是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基，且( (，。下面只要证明:对任意的可以由线性表出，则的维数就是。
事实上，对任意的，都有，于是有线性关系，且 ，
但有假设知 ，
所以，又因为，故，从而有，
再由的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设与是欧氏空间的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是和，另外，设到的过渡矩阵为
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，即 ，
=
=
=，
另一方面,令
，
则D的元素为
，
故的元素
，
即证。再由皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。
2）在欧氏空间V中，任取一组基，它的度量矩阵为其中，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即。于是只要
，
则由上面1）可知基的度量矩阵为E ，这就是说，就是所求的标准正交基。
12．设是n维欧氏空间V中的一组向量，而
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证明：当且仅当时线性无关。
证 设有线性关系
，
将其分别与取内积，可得方程组
，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。
证 设
为上三角矩阵，则也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以，即
，
所以，因而
为对角阵。再由知，即证或-1。
14．1）设A为一个n阶矩阵，且，证明A可以分解成
A=QT，
其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵
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，
且，并证明这个分解是唯一的；
2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使
。
证 1)设A的n个列向量是由于，因此是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
，
其中
，
，
其中。即
，
令，则T是上三角矩阵,且主对角线元素。
另一方面，由于是n维列向量，不妨记为
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，
且令
，
则有,由于是一组标准正交基，故是正交矩阵。
再证唯一性，设是两种分解，其中是正交矩阵，是主对角线元素大于零的上三角阵，则，由于也是正交矩阵,且为上三角阵，因此, 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是的主对角线元大于零，所以的主对角线元只能是1，故，即证。进而有,从而分解是唯一的。
2)因为是正定的，所以与合同，即存在可逆阵使,再由1)知,其中是正交矩阵为三角阵，所以。
，定义，
证明:1)是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2) 是第二类的；
3)如果维欧氏空间中正交变换以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间的维数为，那么是镜面反射。
证:1),有:
，
所以是线性变换。