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文档介绍

文档介绍:第四讲数列与探索性新题型的解题技巧
【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势:
差差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有.
数列中an与Sn之间的互化关系也是高考
anan1】a2
an—-gL判
an1an2a1
nn1n2L2g1n!
另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
例3.(2007年北京卷理)数列务中,%2,an1an
cn(c是常数,n1,2,3,l),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数歹U.
(I)求c的值;(II)求&的通项公式.
思路启迪:(1)由a1,a2,a3成公比不为1的等比数列列方程求c;
an与n
(2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳概括出之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前
4项的该数列的一个通项公式
a1
解:(Da12,a22c,a323c,因为a〔,a2,a3成等比数列,所以(2c)2
2(2
3c),解得c0或c2.
当c0时,a
a2
a3,不符合题意舍去,故
(II)当n>2时,由于a2a1c,
asa22c,LL,anan1
(n
所以ana1
[12L(n1)]c四一c-
2
2,故an2n(n1)n2n2(n
2,3,L)•
当n1时,上式也成立,所以ann2n2(n1,2,L).
小结:从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是创新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够的重视
例4.(2006年广东卷)已知数列xn满足XXi,X
22n
-XniXn2,n3,4,"
2
,.若limxn
2,

(
B
)
(A)3(B)3(C)4
(D)5
2思路启迪:对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用XnXn-
2
Xn-Xn2
2
Xn2Xn3
L
.2
』3
从而
1.
1……
X3
X2
-X-,X4
X3
-X-,
'XnXn-
2
2
2
11—vv—
X2
nX1
X1
叠加得:XX2X
23n11|1——L—22
XnX2
1X1—16
n21-,limXnlimx2x1—1nn6
2&ki,
解答过程
2Xn
Xn
-Xn-,
Xn
Xn-Xn2Xn.
X3X2
X-
X3
X4X3
LLL
X2
X4
相叠加X
nX2
X-X2XnXn-.
XniXn
2
Xn3
Xni
XnXn-
X
n2
Xn
X-
QX2
2Xn
Xn-2X-.
2
lim2xn
Xn
i
lim2x
1,limxn
2,
2X16,X13
n
n
n
解答过程
2
:由
Xn
1
-Xn-X
2
2得:
1
1,
1
Xn+
-X
:ni
Xni
—Xn2L
X2
-X-X-'
2
2
2
limxn
1Xni
X-
,因为lim
Xn
2.
nn
2
n
所以:X
-
3.
解答过程3:由-Xn1Xn2得:
2
小结:数列递推关系是近几年高高数学的热点,主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推ankan-idn2,k1,可转化为adkad;对连续三项递推的关系an1kandan-1n2nFTn1FT如果方程x2kxd=0有两个根、,则上递推关系式可化为31ananan1或an1ananan1.
考点3数列的通项an与前n项和Sn之间的关系与应用an与Sn的关系:an;sn=1,数列前n项和Sn和通项an是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式anSnSn1时,一定要注意条件n2,求通项时一定要验证a〔是否适合。解决含an与Sn的式子问题时,通常转化为只含an或者转化为只Sn的式子.
例5.(2006年辽宁卷)在等比数列an中,昌2,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于
()
(A)2n12(B)3n(C)2n(D)3n1命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。
过程指引因数列an为等比,则an2qn1,因数列an1

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