文档介绍：基本不等式公开课课件
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
考虑：这会标中含有怎样的几何图形？
考虑：你能否在 OD=______
你能用这个图得出根本不等式的几何解释吗?
问题三
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD
＞
≥
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
几何意义：半径不小于弦长的一半
A
D
B
E
O
C
a
b
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
填表比较：
注意从不同角度认识根本不等式
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
解：如图设BC=x ，CD=y ，
那么xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.
当且仅当时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
此时x=y=10.
x=y
A
B
D
C
假设x、y皆为正数，
那么当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值_______.
例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
那么 2(x + y)= 36 , x + y =18
矩形菜园的面积为xy m2
得 xy ≤ 81
当且仅当x=y时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2
即x=y=9
A
B
D
C
假设x、y皆为正数，
那么当x+y的值是常数S时，
当且仅当x=y时，
xy有最大值_______；
①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正〞
二“定〞
三“相等〞
利用根本不等式求最值时，要注意
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
1
4
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
那么篱笆的长为
矩形花园的面积为xy m2
A
B
D
C
得 144≥2xy
当且仅当时，等号成立
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，
花园面积最大，最大面积是72m2
即 xy ≤ 72
即x=12，y=6
x +2y= 24
x=2y
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
那么篱笆的长为
矩形花园的面积为xy m2
A
B
D
C
x + y不是定值.
2
=24为
得 2xy ≤ 144
当且仅当时，等号成立
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，
花园面积最大，最大面积是72m2
即 xy ≤ 72
即x=12，y=6
x +2y= 24
x=2y
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
分析：设AB=x ，BC=24－2x ，
A
B
D
C
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
解：设AB=x ，BC=24－2x ，
矩形花园的面积为x(24－2x) m2
当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，
花园面积最大，最大面积是72m2
(其中2x+(24-2x)=24 是定值)
变式：如图，用一段长为24m