文档介绍：《高等数学》应用18例一、椅子能在不平的地面上放稳吗?二、磁盘的最大存储量三、i数列四、分形几何中的Koch雪花五、工人上班何时效率最高?六、石油的消耗量七、捕鱼成本的计算八、飞出火星九、萃取问题十、最优化的产出水平十一、蚂蚁逃跑问题十二、资金配置问题十三、家庭教育基金问题十四、分针与时针重合问题十五、证明e是无理数十六、湖泊的污染问题十七、减肥问题十八、冷却定律和破案一、椅子能在不平的地面上放稳吗?要回答这个问题,我们先要做一些合理的假设:(1)椅子的四条腿长度相等,椅脚与地面接触处视为一个点,四脚的连线是一个正方形;(2)地面是一个连续曲面,没有象台阶那样的情况;(3)地面是相对平坦的,即在任何位置至少有三只脚着地;在以上假设下,问题就是四只脚A、B、C、D能否同时着地?为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系(如图),再以原点为中心旋转椅子,用θ表示旋转的角度,并引入函数f(θ)表示A、C两腿与地面的距离之和,函数g(θ)表示B、D两腿与地面的距离之和,且不妨假设f(θ)、g(θ)都是连续函数,又因在任何位置至少有三只脚着地,所以对任何θ,有f(θ)g(θ)=0。于是,椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为:是否存在θ0,使f(θ0)=g(θ0)=0?回答是肯定的,下面是其证明。不妨假设开始时f(0)>0,g(0)=0,现将椅子旋转900(π/2),对角线AC与BD互换,由f(0)>0,g(0)=0可知f(π/2)=0,g(π/2)>0。令h(θ)=f(θ)-g(θ),则h(0)>0,而h(π/2)<0,根据连续函数的介值定理知,必存在θ0(0<θ0<π/2),使f(θ0)-g(θ0)=0。最后,因为f(θ0)g(θ0)=0,所以f(θ0)=g(θ0)=0。这种通过对实际问题先作合理的假设,最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。有兴趣的同学可以参考一下这方面的书籍。思考:若椅子的四脚的连线是一个长方形,如何证明椅子仍能在不平的地面上放稳?二、磁盘的最大存储量计算机使用的软磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区,磁道指不同半径构成的同心轨道,扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单位,存储一位,称为bit。为了保障分辨率,磁道的宽度必须大于ρt,每bit所占用的磁道长度不小于ρb,为了检索的便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的bit数。现有一张半径为R的磁盘,存储区是半径介于r和R之间的环形区域,试确定r,使磁盘具有最大的存储量。解:由题知,存储量=磁道数×每磁道的bit数,另磁道数最多可达trR??,由于每磁道具有相同的bit数,所以为获得最大的存储量,最内的一条磁道必须装满,即每条磁道上的bit数可达到br??2。于是,总存储量)(22)(rRrrrRrBbtbt???????????为求B(r)的最大值,计算)2(2)('rRrBbt?????得驻点2Rr?故当2Rr?时磁盘具有最大存储量,此时最大存储量为422maxRBbt????。三、i数列有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,而所生小兔也在第二个月成年,第三个月生产另一对小兔,以后也每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄,且无死亡,试问一年后共有小兔几对?i在1202年所著“算法之书”中的一个题目。通过简单的推算,我们不难得到每月末的兔子队数为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233,即一年末共有兔子233队。这是一个有限项数列,i数列,i数。若记,...,8,5,3,2,1,1543210??????FFFFFF,则此数列满足递推关系:,...)2,1,0(12?????nFFFnnn其通项公式为:])251()251[(5111??????(比内)求出的。i数列与自然、社会生活中的许多现象都密切相关,比如蜜蜂的“家谱”图、钢琴音阶的排列、i数列有关。为此,美国还专门出版了一份《i数列季刊》,以登载它在应用上的新发现及有关理论。思考:有一条n阶楼梯,如果每步只能跨上一级或两级,问登上去共有几种走法?(答案:nF种)四、分形几何中的Koch雪花所谓Koch雪花,它其实是一种通过递归方式生成的几何图形。设有单位边长的正三角形,如图,则其周长为31?P,面积为431?A。现将每条边三等分,以每条边中间一段为边向外做正三角形,如图,则每条边生成的四条新边的长度之和是原来每条边的长度的34倍,同时,生成三个新的三角形,每个的面积为原三角形面积的91,故总周长1234PP?,总面积11231AAA??,依次进行下去,并注意到(1)每一条边生成四条新边,边长变为原来的31;(2)下一步,四条新边共生成四个新的小三角形,面积是以生成