文档介绍：Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
高等数学应用案例讲解
高等数学应用案例
案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变
一工厂有名技术工人和名非技术工人，每天可生产的产品产量为
（件）
现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变
解：现在产品产量为件，保持这种产量的函数曲线为。对于任一给定值，每增加一名技术工人时的变化量即为这函数曲线切线的斜率。而由隐函数存在定理，可得
所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为
当时，可得。
因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。
下面给出一个初等数学解法。令
c：每天可生产的产品产量；
；技术工人数；
；非技术工人数；
；技术工人增加人数；
；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。
由已知列方程：
（1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c，则有方程：
（1）
（2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（）名，且每天的产品产量为c，则有方程：
（2）
联立方程组（1）、（2），消去c得：
即
代入，得：名，即减少4名非技术工人。
比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式：
从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小：
（3）
而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小（3），所以计算较容易。
案例2、征税的学问
工厂想赚钱，政府要收税，一个怎样的税率才能使双方都受益这是一个具有现实意义的问题。假设工厂以追求最大利润为目标而控制它的产量q，政府对其产品征税的税率(单位产品的税收金额)为t，我们的任务是，确定一个适当的税率，使征税收益达到最大。
现已知工厂的总收益函数和总成本函数分别为R=R(q)、C=C(q)。由于每单位产品要纳税t，故平均成本要增加t，从而纳税后的总成本函数是
利润函数是
令，有
（1）
这就是在纳税的情况下获得最大利润的必要条件。
政府征税得到的总收益是
（2）
显然，总收益T不仅与产量q有关，而且与税率f有关。当税率t=0(免税)时，T=0；随着单位产品税率的增加，产品的价格也会提高，需求量就会降低，当税率f增大到使产品失去市场时，有q=0，从而也有T=0。因此，为了使征税收益最大，就必须恰当地选取t。我们利用一元函
数极值的有关知识来解决本问题，下面看一个实例。
例1：厂商的总收益函数和总成本函数分别为
。
厂商追求最大利润，政府对产品征税，求
1)征税收益的最大值及此时的税率t；
2)厂商纳税前后的最大利润及价格．
解： 1)由纳税后获得最大利润的必要条件(1)，得
故
根据实际问题的判断，就是纳税后厂商获得最大利润的产出水平。于是，这时的征税收益函数
要使税收T取最大值，令，得
，即t=14
根据实际问题可以断定必有最大值，现在只有一个根，所以当t=14时，T的值最大。这时的产出水平，最大征税收益为
2)容易算得纳税前，当产出水平q=时，可获得最大利润L=47，此时价格p=；将qt=，t=14代入纳税后的利润函数
得最大利润L=，此时产品价格
=
可见，因产品纳税，产出水平由下降到；价格由上升到，最大利润由47下降到。
案例3、隧道的车流量问题
巴巴拉(Barbara)接受了纽约市隧道管理局的一份工作，她的第一项任务就是决定每辆汽车以多大速度通过隧道可使车流量最大。通过大量的观察，她找到了一个很好的描述平均车速(km/h)与车流量(辆／秒)关系的函数：
(a)问平均车速多大时，车流量最大
(b)最大流量是多少
解：(a)这是一个极值的问题：
令，即
由实际问题知，当v=／h时，车流量最大。
(b)最大车流量是f =(辆／秒)
案例4、、核废料的处理问题
以前，美国原子能委员