文档介绍:关于实对称矩阵的对角化
现在学****的是第1页,共16页
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明
一、对称矩阵的性质
现在学****的是第2页,共16页
于是有
两式相减,得
现在学****的是第3页,共16页
定理1关于实对称矩阵的对角化
现在学****的是第1页,共16页
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明
一、对称矩阵的性质
现在学****的是第2页,共16页
于是有
两式相减,得
现在学****的是第3页,共16页
定理1的意义
现在学****的是第4页,共16页
证明
于是
现在学****的是第5页,共16页
证明
它们的重数依次为
根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定
理3( 如上)可得:
设 的互不相等的特征值为
现在学****的是第6页,共16页
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交,
这样的特征向量共可得 个.
故这 个单位特征向量两两正交.
以它们为列向量构成正交矩阵 ,则
现在学****的是第7页,共16页
根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵,其具体步骤为:
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
将特征向量正交化;
3.
将特征向量单位化.
4.
2.
1.
现在学****的是第8页,共16页
解
例 对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵 ,
使 为对角阵.
(1)第一步 求 的特征值
现在学****的是第9页,共16页
解之得基础解系
解之得基础解系
现在学****的是第10页,共16页
解之得基础解系
第三步 将特征向量正交化
第四步 将特征向量单位化
现在学****的是第11页,共16页
现在学****的是第12页,共16页
现在学****的是第13页,共16页
现在学****的是第14页,共16页
于是得正交阵
现在学****的是第15页,共16页
感谢大家观看
现在学****的是第16页,共16页