文档介绍：第二节
平面向量的基本定理及向量坐标运算
【知识梳理】
教材回扣 填一填
(1)平面向量基本定理:
①基底:平面内_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底.
②定理:如果e1,e2是同一平 ( )
=(0,0),c=(3,2) =(1,1),c=(-1,1)
=(1,-1),c=(-1,1) =(2,4),c=(1,2)
【解析】,b=0,而C,D中两向量共线,不符合作为基底
的条件,而B中,a=3b-c,所以选B.
(3)(2015·成都模拟)在▱ABCD中,AC为一条对角线, =(2,4), =
(1,3),则向量 的坐标为 .
【解析】设 =(x,y),因为
所以(1,3)=(2,4)+(x,y),
所以 即 所以 =(-1,-1),
所以 =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
答案:(-3,-5)
考点1 平面向量基本定理及其应用
【典例1】(1)(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关于向
量a的分解,有如下四个命题:
①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;
③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
(2)(2015·泉州模拟)在△ABC中,点P是AB上一点,且
Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又 试求t的值.
【解题提示】(1)利用平面向量基本定理来逐一判断.
(2)首先利用条件确定P点的位置,再利用平面向量基本定理确定基底,从而联立方程得t.
【规范解答】(1)①
因为a与b给定,所以a-b一定存在,可表示为c,即c=a-b,
故a=b+c成立,①正确;
对于②,因为b与c不共线,
由平面向量基本定理可知②正确;
对于③,以a的终点为圆心,以μ为半径作圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定满足,故③错误;
对于④,由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即必有|λb|+|μc|=λ+μ>|a|,而给定的λ和μ不一定满足此条件,
所以④是假命题.
(2)因为
所以
即
所以
即P为AB的一个三等分点(靠近A点),
又因为A,M,Q三点共线,
设
所以
=
又
=
故 解得 故t的值是 .
【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错.
(1)对于①中判断易直接利用平面向量基本定理而不会变换为c=a-b去判断从而误解.
(2)对于③④判断时易忽视向量加法的几何意义,及平面向量基本定理的理解而误解.
【互动探究】题(2)中若条件和所求不变,再附加一问:M在AQ的什么位置?如何求解.
【解析】由(2)的解析 及λ= ,
知,
因此点M是AQ的中点.
【规律方法】应用平面向量基本定理的关键点
(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.
(2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.
(3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.
【变式训练】如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将 分成2∶1
的一个内分点,DC和OA交于点E,设 =a, =b.
(1)用a和b表示向量 , .
(2)若 =λ ,求实数λ的值.
【解析】(1)由题意知,A是BC的中点,且 由平行四边形法
则,得
所以 =2a-b,
=(2a-b)- b=2a- b.
(2)由题意知,
故设
因为 =(2a-b)-λa
=(2-λ)a-b, =2a- b,
所以(2-λ)a-b=x(2a- b).
因为a与b不共线,由平面向量基本定理,
得 解得 故λ= .
【加固训练】,已知下列各组向量
①a与-2b;
②a+b与a-b;
③a+b与a+2b;
④a- b与 a