文档介绍：相似矩阵型第五章相似矩阵与二次一、相似矩阵与相似变换的概念. , ., , ,,,1 1 1 的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义 BA PA AP P ABAAB B AP P PnBA ??? 1. 等价关系??????..2 2 11 121 1PAPPAPPAAP ??????.,.3 为正整数相似与则相似与若mBABA mm 二、相似矩阵与相似变换的性质. 本身相似与AA., 相似与则相似与若ABBA. ,, 相似与则相似与相似与若CA CBBA 反身性)1()2( 对称性传递性)3( 证明相似与BA?? PEP AP PEB?? 11???????? PEAP????1PEAP????????? PAPkPAPkPAkAkP 2 121 112211 ??????., 21 是任意常数其中 kkB AP PP????1, 使得可逆阵., ,1 的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理 BA BABAn 推论若阶方阵 A与对角阵 n???????????????? n???? 2 1.,,,, 21 个特征值的即是则相似 nA n????利用对角矩阵计算矩阵多项式, 1P PB A ??若P PE aP PB a PB PaPB Pa nn nn111 111 10?????????????A k 的多项式 AEa AaA aA a A nn nn???????1 110)(??.)( 1P BP ???. 1PB P k??则P Ea BaB aB a P nn nn11 110)( ????????? P PB 1?P PB 1?P PB 1??P PB 1? k个,, 1 为对角矩阵使若可逆矩阵特别地??? AP P P, 1P PA kk???则.)()( 1P PA ?????有对于对角矩阵,?, 2 1??????????????????? kn k kk?,)( )( )()( 1 1 1???????????????????????? 利用上述结论可以很方便地计算矩阵 A 的多项式.)(A?., ,, 1 对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对A AP P PAn???证明,, 1 为对角阵使假设存在可逆阵??? AP PP??.,,, 21npppPP??用其列向量表示为把三、利用相似变换将方阵对角化. )(2 个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理 nA AAn??????????????????? n nnppppppA?????? 2 12121,,,,,,即??.,,, 2211nnppp????????? n n Ap Ap Ap pppA,,,,,, 2121??????.,,2,1nip Ap iii????于是有?? nppp???,,, 211??,, 1?????P AP AP P 得由. , 的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见 i i iA pPA??.,,,, 21 线性无关所以可逆又由于 npppP?命题得证.. ,, ,,??P AP Pnn nA使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之