文档介绍：关于平面向量数量积的含义
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任意两个向量都可以进行加,减运算,同时两个向量的和与差仍是一个向量,,我们自然会提出,任意两个向量是否也可关于平面向量数量积的含义
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任意两个向量都可以进行加,减运算,同时两个向量的和与差仍是一个向量,,我们自然会提出,任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此,我们从理论上进行相应分析.
引入：
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F
s
新课引入:
我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移S(如图)其中θ是F与S的夹角，那么力F所做的功W，可以用如下式子计算：
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平面向量的数量积
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定义
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
a·b= |a| |b| cosθ
已知两个非零向量a 与 b,它们的
夹角为θ，我们把数量 |a| |b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作:
注意：向量的数量积是一个数量。
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(2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定；
定义理解：
(1)a · b不能写成 a×b ,a×b 表示向量的另一种运算．
a·b= |a| |b| cosθ
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向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
思考：
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；
当90°＜θ ≤180°时a·b为负。
当θ =90°时a·b为零。
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你会变吗？
会用吗？试试看
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O
A
B
a
b
平面向量的数量积的几何意义
，过点B作
垂直于直线OA，
| b |cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影.
平面向量的数量积的几何意义是:
| b | cosθ
垂足为 ，则
等于
的长度
与
的乘积。
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平面向量的数量积的几何意义
O
A
B
a
b
B
O
A
a
b
O
A
B
a
b
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
θ 为 时,它是 | b |
0
。
O
A
B
b
a
O
A
B
b
a
θ为 时,它是 -| b |
180
。
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重要性质:
设
是非零向量，
方向相同的
单位向量，
的夹角，则
特别地
O
A
B
θ
a
b
B1
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我真的理解了吗?
真
假
假
假
⑤
⑥
真
假
假
真
⑧
⑦若 ， ，
则
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进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角
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(1)已知 ， 则向量 在向量
上的投影为 。
(2)已知△ABC中 ,当 时,ΔABC是
什么三角形？
4
钝角三角形
(3)已知平面上三点A,B,C满足
则 的值等于 。
−25
练****一：
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3
练****一：
A
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：
⑴交换律:
⑵数乘的结合律:
⑶分配律:
注意:
数量积不满足结合律
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(3)
1
2
A
B
O
A1
B1
C
证明:在平面内取一点 ，作 ,