文档介绍：第六章系统稳态误差及稳定性分析
第二节控制系统的稳定性判据
系统稳定性的概念
若系统由于输入量所引起的瞬态响应,在外加信号消失后,随时间的推移而衰减并趋于零,则称该系统为稳定系统。
—不稳定的平衡点
系统的稳定性,是系统本身的固有特性。只与系统的结构参数有关,而与输入量无关
稳定性分析示意图
—稳定的平衡点
系统在初始条件的影响下,其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零,称为稳定
系统稳定的条件
设系统的传递函数为,方程 B(s)=0 称为系统的特征方程
系统稳定的充要条件为:系统特征方程的全部根的实部为负。
若系统特征根中有部分为零或者为纯虚数,则系统在输入量撤销后,随时间的推移而趋于一常数或者等幅振荡,称为临界稳定。从工程意义上来说,是不稳定的。
系统不稳定产生的后果
实际上,物理系统输出量只能增加到一定的范围,此后或者受到机械止动装置的限制,或者使系统遭到破坏,也可能当输出量超过一定数值后,系统变成非线性的,而使线性微分方程不再适用。
劳斯判据
系统稳定性的判据
根据系统的特征方程可判断系统的稳定性。那么如何判定呢?
根据系统特征方程中系数与根的关系,间接判断出特征方程的根的情况。
设系统的特征方程为
则系统稳定的必要条件为:特征方程B(s)=0的各项系数bi的符号均相同且不等于零。
系统稳定的必要条件
劳斯在此基础上提出了系统稳定的充要条件
系统稳定的充要条件为:劳斯数列表中第一列各项的符号均为正且不等于零。
若有负号存在,则发生符号的变化次数,就是不稳定根的个数。
如
则劳斯数列表为
sm
b0
b2
b4
b6
…
sm-1
b1
b3
b5
b7
…
sm-2
C1
C2
C3
C4
…
sm-3
D1
D2
D3
D4
…
…
…
…
…
…
…
s0
…
其中
两个特殊情况:
劳斯数列表中任一行第一项为零,其余各项不为零或者部分不为零
解决方法:用一任意小的正数ε代替零的那一项,然后继续计算。若的上下项的符号不变,且第一列所有项的符号为正,则方程有共轭虚根,系统属临界稳定。
劳斯数列表中任一行全为零
解决方法:
利用全为零的这一行的上一行的各项作系数组成一个多项式方程(最高阶次为该行的相应阶次,相邻项的阶次相差为2);
对辅助方程取导数得一新方程;
以新方程的系数代替全为零的那一行。
例1
已知系统的特征方程为 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0
解
用劳斯判据判断系统的稳定性。
s4
1
17
5
s3
8
16
0
s2
C1 =
C2 =
0
s1
D1 =
0
0
s0
E1 =
0
0
劳斯数列表为
15
5
5
例2
已知系统特征方程为s3-3s+2=0。判断系统的稳定性,若不稳定,试确定不稳定根的个数。
解
系统不稳定
s3
1
-3
0
s2
0≈ε
2
0
s1
C1
0
0
s0
D1=2
0
0
故系统有两个不稳定根。
例3
已知系统的传递函数为
判别系统的稳定性
解
列劳斯数列表
S5
1
14
200
S4
2
88
800
S3
-30
-200
0
S2
800
0
S1
121
0
0
S0
800
0
0
例4
+
+
-
Xi(s)
Xo(s)
+
解
系统传递函数为
已知ξ=,ωn=,确定K取何值时系统才能稳定。
=s3++7500s+7500K