文档介绍：§1向量的内积、长度及正交性 1. 定义: 维向量设有 n ,, 2 12 1?????????????????????????????? nny y yyx x xx???? 1 1 2 2 , n n x y x y x y x y ? ????令??.,的与为向量称yxyx 内积一、内积的定义及性质说明 1 维向量的内积是 3维向量内积的推广,但是没有 3维向量直观的几何意义. ?? 4?nn??., :, ,,2yx yx yx T?为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算 2. 内积的运算性质??:,,, 为实数维向量为其中?nzyx????;,,)1(xyyx?????;,,)2(yxyx?????????;,,,)3(zyzxzyx???(4) [ , ] 0, 0 [ , ] 0. x x x x x ? ? ?且当时有?????? 2 (5) , , , x y x x y y ?(施瓦兹不等式) 1. 定义: (1) 非负性: (2) 齐次性: (3) 三角不等式: ?? 2 2 2 1 2 ,, n x x x x x x ? ?????令??.或的维向量为称xnx 长度范数 2. 性质: ;0,0;0,0????xxxx时当时当;xx???.yxyx???二、向量的长度及性质???? 1, 2, 2, 3 3,1, 5,1 ? ?? ?如,, [ , ] os ??? ? ?? ??则与的夹角 18 os 3 2 6 ??4 ?? 1 , x x ?当时称为单位向量。 3. 单位向量: ??, os 0, 0 , x y x yy x??? ?当时规定: n x y 称为维向量与的夹角。 4. n 维向量间的夹角 1. 正交的概念 2. 正交向量组的概念, [ , ] 0 x y x y ?当时称量与向正交。. 零向量与任何向量特的,都正交殊三、正交向量组的概念及求法若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组. 10?? 1?? 2??? r???同理可得.,,, 21 线性无关故 r????使设有 r???,,, 21?证明: 0 2211???? r ??????? 1, T?以左乘上式两端得 1 1 1 2 1 2 1 0 T T T r r ?????????? ???? 3. 正交向量组的性质线性无关. ,,,则非零向量, 是一组两两正交的,,, 维向量若定理 r rn???????? 21 211 21 0 ?? ? 1 1 2 1 2 1 [ , ] [ , ] 0 r r ? ???????? ????即: 1 1 0 ? ?? ? 4. 向量空间的正交基 2 1 2 1 1 2 , , , , , , , , , , ,. r r rVV ?? ????? ?????若是向量空间的一个且是的向量组则称是向量空基两间的两正交非正交基零例 1 2 112, 1 1 2 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?是二维向量空间的一个正交基