文档介绍：巧辨“任意性问题”与“存在性问题”
巧辨“任意性问题”与“存在性问题”
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巧辨“任意性问题”与“存在性问题”
巧辨“任意性问题”与“存在性问题”
含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”调递增，
233
而f
1
＝－
25
，f(2)＝1，故f(x)在区间
1，2
上的最大值为
f(2)＝1.
2
8
2
因为“对任意的x1，x2∈
1，2
，都有
f(x1)≤g(x2)成立”等价于“对任意x∈
1，2
，
2
2
g(x)≥f(x)max恒成立”．
即当x∈12，2时，g(x)＝ax＋xlnx≥1恒成立，
即a≥x－x2lnx恒成立．
记u(x)＝x－x2lnx，则有a≥u(x)max.
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巧辨“任意性问题”与“存在性问题”
u′(x)＝1－x－2xlnx，可知u′(1)＝0.
当x∈12，1时，1－x>0,2xlnx<0，
则u′(x)>0，u(x)在12，1上单调递增；
当x∈(1,2)时，1－x<0,2xlnx>0，
则u′(x)<0，u(x)在(1,2)上单调递减．
故u(x)在区间12，1上的最大值为u(1)＝1，
所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．
技法二“若?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)”与“?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)”的辨析
(1)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A与g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠?，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的
函数值．
(2)
?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2
上的值域B的子集，即
A?B，如图④.其等价转化的目标是函数
y＝f(x)的值域都在函数y
＝g(x)的值域之中．
说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在
y轴上的投影．
[典例]已知函数
2
2
3
，a>0，x∈R，g(x)＝2
1
.
f(x)＝x
－ax
－
3
x
x1
(1)
若?x1∈(－∞，－1]，?x2∈－∞，－1
，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围；
2
(2)
当a＝3时，证明：对任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)．
2
[方法演示]
解：(1)∵f(x)＝x2－2ax3，
3
f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．
1
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.
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巧辨“任意性问题”与“存在性问题”
1
∵a>0，∴a>0，∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1]上单调递减，
2a
故f(x)在(－∞，－1]上的值域为
1＋3
，＋∞.
1
，∴g′(x)＝
3x2－2x
3x－2
2.
∵g(x)＝2
2
32＝3
x1－x
x
－x
x1－x
当x<－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)<g－1＝8，
232
故g(x)在－∞，－
1
8
2
上的值域为
－∞，3.
若?x1∈(－∞，－1]，?x2∈－∞，－1，使得f(x1)＝g(x2)，则1＋2a<8，解得0<a<5，
2332
故实数a的取值范围是
5
0，2.
证明：当a＝3时，f(x)＝x2－x3，
2
所以f′(x)＝2x－3x2＝3x2－x.
3
当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且
f(2)＝－4.
所以f(x)在(2，＋∞)上的值域为(－∞，－4)．
则g(x)＝2
1
＝1在(1，＋∞)上单调递增，
x
1－x
fx
1
所以g(x)＝
x21－