文档介绍：非线性规划管理运筹学
非线性规划问题举例
Exle1:
某商店经销A、B两种产品，售价分别为20和380元。据统计，售出一件A ，而售出一件B 产品的平均时间与其销售的数量成正比，在R上有一阶连续偏导数，且在点 取得局部极值，则必有
或
*
*
必要条件
为函数 f (X)在 X*点处的梯度。
由数学分析可知， 的方向为X*点处等值面（等值线）的法线方向，沿这一方向函数值增加最快，如图所示。
*
*
必要条件
满足 的点称为平稳点或驻点。极值点一定是驻点；但驻点不一定是极值点。
*
*
充分条件
充分条件
设R是En上的一个开集，f (X)在R上具有二阶连续偏导数，对于 ，若 且对任何非零向量有：
则X*为 f (X)的严格局部极小点。 称为 f (X)在点X*处的海赛（Hesse）矩阵。
*
*
充分条件
*
*
充分条件
（充分条件）等价于：
如果函数f (X)在X*点的梯度为零且海赛矩阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小点。
*
*
凸函数和凹函数
设 f (X)为定义在En中某一凸集R上的函数，若对于任何实数（0<<1）以及R中的任意两点X(1)和X(2) ，恒有：
则称 f (X)为定义在R上的凸函数；若上式为严格不等式，则称 f (X)为定义在R上的严格凸函数。改变不等号的方向，即可得到凹函数和严格凹函数的定义。
*
*
凸函数和凹函数示意图
X(1)
X(2)
f (X)
X
凸函数
X(1)
X(2)
f (X)
X
凹函数
*
*
非凹非凸函数示意图
f (X(2))
f (X(1))
X(1) +(1-)X(2)
X(1)
X(2)
f (X)
X
非凸非凹函数
*
*
凸函数的性质
设f (X)为定义在凸集R上的凸函数，则对于任意实数≥0 ,函数 f (X)也是定义在R上的凸函数。
设f1 (X)和f 2(X)为定义在凸集R上的两个凸函数，则其和f (X) = f1 (X) + f 2(X)仍然是定义在R上的凸函数。
设f (X)为定义在凸集R上的凸函数，则对于任意实数,集合S ={X|X∈R, f (X) ≤}是凸集。
*
*
凸函数的性质
设f (X)为定义在凸集R上的凸函数，则它的任一极小点就是它在R上的最小点（全局极小点）；而且它的极小点形成一个凸集。
设f (X)为定义在凸集R上的可微凸函数，若它存在点X*∈R，使得对于所有的X∈R有▽ f (X *)T (X- X*) ≥0，则X*是f (X)在R上的最小点（全局极小点）。
*
*
函数凸性的判定
根据凸函数的定义进行判定；
根据一阶条件进行判定；
根据二阶条件进行判定；
*
*
一阶条件
设R为En上的开凸集， f (X)在R上具有一阶连续偏导数，则f (X)为R上的凸函数的充分必要条件是，对于属于R的任意两个不同点X(1)和X(2)恒有：
*
*
二阶条件
设R为En上的开凸集， f (X)在R上具有二阶连续偏导数，则 f (X)为R上的凸函数的充分必要条件是： f (X)的海赛矩阵H(X)在R上处处半正定（ ZTH(X)Z≥0 ）。
*
*
3. 凸规划
凸规划的定义
下降迭代算法
*
*
凸规划的定义
考虑非线性规划：
假定其中 f (X)为凸函数， g j (X)为凹函数（- g j (X)为凸函数），这样的非线性规划称为凸规划。
*
*
凸规划的定义
凸规划：
可行域是凸集、局部最优即为全局最优；若为严格凸函数，最优解若存在必唯一。
*
*
下降迭代算法
基本思想：
给定一个初始估计解X(0)，然后按某种规则（即算法）找出一个比X(0)更好的解X(1) ，如此递推即可得到一个解的序列{X(k) }，若这一解的序列有极限X* ，即
则称X*为最优解。
*
*
下降迭代算法
基本问题：
递推步骤的有限性，一般说很难得到精确解，当满足所要求的精度时即可停止迭代而得到一个