文档介绍：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，更准确地表现出量与量之间的关系。
关键词最小二乘法最小一乘法线性规划曲线拟合
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二、问题重述
已知一个量依赖于另一个量，现收集有数据如下：

（1）求拟合以上数据的直线。目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
（2）求拟合以上数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。
（3）求拟合以上数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小。
（4）求拟合以上数据的曲线，实现（1）（2）（3）三种目标。
（5）试一试其它的曲线，可否找出最好的？
三、问题分析
由题目可知，量依赖于量，也就是说量与量之间存在着必然的联系。这就要求我们通过曲线拟合的方式来探究量与量之间的关系。
对于问题一，拟合题中所给数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。拟合准则偏差平方和最小，即为最为常用的最小二乘准则，故该问就转化为了在最小二乘准则下的曲线拟合问题，也就是一个多元函数的最小值问题，故而可采用最小二乘法，利用Matlab编程进行曲线拟合进行求解。
对于问题二，拟合题中所给数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。对于要在拟合准则绝对偏差总和最小的情况下拟合曲线，应采用最小一乘法原理，又因求解存在一定的困难，其困难就在于绝对值的存在，应设法化去绝对值，所以在所要求拟合的曲线函数形式简单的前提下，将问题转化为了线性规划的求解问题。
对于问题三，拟合题中所给数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小。对于要在拟合准则最大偏差为最小的情况下拟合曲线，可以在第二问的基础上加以改进，继续采用线性规划模型，并利用Lingo编程进行问题的求解。
对于问题四，拟合题中所给数据的曲线，分别实现问题一、问题二、问题三中的三种目标。针对这一问题，只需将前三问中的原理加以改进，将原理中的线性部分转化为非线性部分，即可对该问进行求解。
对于问题五，因为前三问要求拟合的都是直线，第四问要求拟合的是二次曲线，拟合完后发现均呈现函数值与观测值都存在一定的偏差，说明拟合的曲线并非是关于量和量的最佳拟合曲线。故而可以重新观察散点图的图像特点，充分考虑之前拟合
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曲线中的奇异点的位置，分别尝试拟合指数函数曲线和对数函数曲线，以找到关于量和量的最佳拟合曲线。
四、模型的建立与求解
设表示按拟合曲线求得的近似值，它不同于实测值，两者之间的差值就是大家熟知的偏差（或残差）。通常我们构造拟合曲线有3种准则可供选择（即如题所问），具体内容如下：
1、最大偏差达到最小：；
2、偏差的绝对值之和达到最小：；
3、偏差的平方和达到最小：。
问题模型的建立和解答
问题模型的建立
直线拟合数据点的最小二乘法，即找一个一次函数，使二元函数
达到最小。
由多元函数取得极值的必要条件知，由方程组：
，
化简可得正规方程组：
。
问题模型的解答
要求解最小二乘线性回归方程，运用Matlab实现极为简洁（具体程序详见附录1）。，-。也就是说拟合成的直线为
。
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拟合后的图像见下图1：
图1 问题一函数拟合结果
问题模型的建立和解答
建立最小一乘线性回归模型
设观测数据为，即样本个数大于变量个数，，线性模型为
，（1）
其中为元素全为1的维列向量，为回归系数向量，。
接下来是确定对最小一乘线性回归系数的估计，这就需要求解下面的无约束不可微最优化问题
，（2）
即要求超定矛盾线性方程组
，