文档介绍：关于函数单调性与凸性的判别法
第一页，讲稿共八十五页哦
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
第二页，讲稿共八十五页哦
带Lagrange余项的Maclaurin公式：
第三页，讲稿共八十五页哦
§4单调减少的，则该曲线弧是上凸的。
第二十六页，讲稿共八十五页哦
求拐点的步骤：
第二十七页，讲稿共八十五页哦
解：
第二十八页，讲稿共八十五页哦
解：
二阶导数不存在的点也可能是拐点.
第二十九页，讲稿共八十五页哦
解：
导数不存在，二阶导数也不存在。
第三十四页，讲稿共八十五页哦
凸
凹
凹
第三十五页，讲稿共八十五页哦
证明：
第三十六页，讲稿共八十五页哦
证明：
第三十七页，讲稿共八十五页哦
hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9).
p188 1(3,5),2(1),3,5,6.
更进一步有不等式：
第三十八页，讲稿共八十五页哦
§5 函数极值、函数作图
函数的极值与求法；
渐近线；
函数作图。
第四十五页，讲稿共八十五页哦
一. 函数的极值与求法
定义：
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
第四十六页，讲稿共八十五页哦
第四十七页，讲稿共八十五页哦
定理1(必要条件)
注意:
例如,
极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).
第四十八页，讲稿共八十五页哦
定理2(第一充分条件)
(是极值点情形)
第四十九页，讲稿共八十五页哦
证明：
第五十页，讲稿共八十五页哦
求极值的步骤:
(不是极值点情形)
第五十一页，讲稿共八十五页哦
例1.
解
列表讨论
极大值
极小值
第五十二页，讲稿共八十五页哦
图形如下
第五十三页，讲稿共八十五页哦
解：
第五十四页，讲稿共八十五页哦
第五十五页，讲稿共八十五页哦
定理3（第二充分条件）
第五十六页，讲稿共八十五页哦
证明：
第五十七页，讲稿共八十五页哦
极小值
极大值
第五十八页，讲稿共八十五页哦
定理3’(第二充分条件)
第五十九页，讲稿共八十五页哦
例 1. 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；
解：
第六十页，讲稿共八十五页哦
证明：
第六十一页，讲稿共八十五页哦
证明：
第六十二页，讲稿共八十五页哦
第六十三页，讲稿共八十五页哦
解：
第六十四页，讲稿共八十五页哦
第六十五页，讲稿共八十五页哦
小 结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为极值可疑点.
函数的极值必在极值可疑点取得.
判别法
第一充分条件;
第二充分条件;
(注意使用条件)
Hw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.
第六十六页，讲稿共八十五页哦
二. 渐近线
定义:
第六十七页，讲稿共八十五页哦
例如
有垂直渐近线两条:
第六十八页，讲稿共八十五页哦
例如
有水平渐近线两条:
第六十九页，讲稿共八十五页哦
斜渐近线求法:
第七十页，讲稿共八十五页哦
注意:
第七十一页，讲稿共八十五页哦
解：
第七十二页，讲稿共八十五页哦
解：
第七十三页，讲稿共八十五页哦
三. 函数作图
：
1). 定义域，值域，连续范围；
2). 函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶
函数关于y轴对称；
3). 周期性。
第七十四页，讲稿共八十五页哦
2. 利用导数研究函数性质：
第七十五页，讲稿共八十五页哦
3. 渐近线
1). 垂直渐近线；
2). 水平与斜渐近线。
4. 描点作图
第七十六页，讲稿共八十五页哦
解：
第七十七页，讲稿共八十五页哦
第七十八页，讲稿共八十五页哦
第七十九页，讲稿共八十五页哦
p188 7(1,3,5),8,11(2).
p229 4,6,8,9,10(1,4,6,7,9),
12(1),13(1,3),15,20,21,30
第八十页，讲稿共八十五页哦
列表
–
x
y
y
.
.
对函数进行全面讨论并画图：
解
所以，曲线有渐近线 x =0
0
(拐点)
+
+
因
–
–
–
–
0
0
+
+
3
极小值
+
例1.
0
.
间断点
第八十一页，讲稿共八十五页哦
0
x
y
3
.