文档介绍：-1- 矩阵分解在信号和图像处理方面的应用矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程,它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用,但它又能广泛应用于各个领域。矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论;矩阵分析;矩阵分解;广义逆矩阵;特征值的估计以及广义特征值等。用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。此方法近年来在数据降维和压缩, 滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。在滤波器设计方面,VOZALIS 等将 SVD 用于协同滤波,他们的研究结果表明,SVD 提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。而在消噪方面, LEHTOLA 等利用 SVD 和数学形态学相结合, 对心电信号(Electrocardiogram ,ECG) 进行处理,消除了噪声的影响,提高了心电图诊断的准确性。同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。在另一些研究中 SVD 则被利用来实现特征提取和弱信号分离,如LIU 等利用 SVD 从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。 SVD 在神经网络中也获得了应用,如 TEOH 等利用 SVD 实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析,进而决定了隐层神经元节点的数目。 SVD 的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用,如XIE 等利用 SVD 对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理,以获得代表肢体运动模式的最优特征,进而对肌电信号进行分类,用于对假肢的控制。小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解,获得相应的近似和细节信号,从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9],这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。基于这种多分辨分析思想的思考,赵学智在 SVD 中提出了一种矩阵二分递推构造方法,根据该方法得到的 SVD 分解结果将分属于不同层次的空间,而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的,实现了利用 SVD 以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。这种多分辨 SVD 的分解结果具有二阶消失矩特性,可以实现对信号中 Lip 指数 a=0 和a=l 的奇异点位置的精确定位,这种定位不随分解层数的改变而发生任何偏移,远优于小波变换的奇异性检测效果,多分辨 SVD 具有优良的消噪效果,其本质是基于正常信号和噪声的相关性不同,从而造成了它们的奇异值分布不同,结果使得噪声被分离到 SVD 细节中,而正常信号则保留-2- 在SVD 近似信号中,消噪结果无相位偏差,是一种零相移消噪方法。最后,这种多分辨 SVD 可以提取到微弱的故障特征信息。设 nmrCA ??,)( rank Ar?, i?是 H AA 的特征值, i?是AA H 的特征值,它们都是实数。且设 0 2121????????????????mrrr??????0 2121????????????????nrrr??????则特征值 i?与 i?之间的关系为: 0?? ii??,),,2,1(ri????。设 nmrCA ??, H AA 的正特征值 i?,AA H的正特征值 i?,称 iii?????, ),,2,1(ri????是A 的