文档介绍：知识点整理（一）平行与垂直的判断
（1）平行：
设，
的法向量分别为u,v，则直线l,m的方向向量分别为a,b，平面
线线平行
1//m
a//bakb;线面平行l//
rrrr
auau0;
rrrr
面面1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1)
BC(1,1,0),DA(1,1,1),
BCDA0,则BCAD.
(2)设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),
则由n1BC知:n1BCxy0;(1,1,1).
同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2(1,0,1).
由图可以看出，二面角B-AC—D的大小应等于n1,n2
贝Vcosn1,n2
贝Vcosn1,n2
n1n2
由1*
|n1IE|
6
3
即所求二面角的大小是
v'6
arccos.
3
(3)设E(x,y,z)是线段AC上一点，则
(3)设E(x,y,z)是线段AC上一点，则
z0,y1,
平面BCD勺一个法向量为n
平面BCD勺一个法向量为n
(0,0,1),de(x,1,x),
要使ED与面BCD成30°角，由图可知DE与n的夹角为60°,
要使ED与面BCD成30°角，由图可知DE与n的夹角为60°,
所以cosDE,n巴］xcos60-.IDE||n|<12x22
则2x..12x2,解得,x2,则CE2x1.
2
故线段AC上存在E点,且CE1时,ED与面BCD成30角.
题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题
例3、如题(18)图，在五面体ABCDEF中，AB//DC,
四边形，FA平面ABCD,FC3,ED、、7•求：
BAD-,CDAD2，四边形ABFE为平行2
(I)直线AB到平面EFCD的距离；
(n)二面角FADE的平面角的正切值.
解法一：
(I)QABPDC,DC平面EFCD,
面EFCD的距离，过点
A作AGFD于G,因BAD—AB//DC，故2
AB到面EFCD的距离等于点A到
D
CDAD；又QFA
平面ABCD,由三垂线定理可知，CDFD,故
CD面FAD，知CD
AG,所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离
题(IX)图
在RtAABC中，FDFC2CD29一4、、5
由FA平面ABCD，得FAAD,从而在Rt^FAD中,
AG-———。即直线AB到平面EFCD的距离为。
FDV555
(n)由己知，FA
平面ABCD，得FAAD又由BAD—,知AD2
AB，故AD
平面ABFE
在RtAAED中，
AE
-ED2
AD2
■7
4、3,由YABCD得,FEPBA,从而AFE
在RtAAEF中，
FE
、AE2
AF2
3
12,故tan2
FA
DAAE，所以,
FAE为二面角FADE的平面角，记为•
2
所以二面角FAD
E的平面角的正切值为,2.
uuuLULTuuu
A点为坐标原点，AB,AD,AF
D(0,2,0)设F(0,0,Zo)
y
E
解法二：(I)如图以空间直角坐标系数，则
A(0,0,0)C(2,2,0)|,解得F(0,0,1)QAB//DC,
DC面EFCD,所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离。设A点在平面EFCD上的射
uur影点为G(xi,yi,Zi),则AG
(xi,yi,zi)uuir因AG
UULTDFuuuruuruuur
0且AGCD0,而DF(0,2,1)
uuurCD(2,0,0)，此即
2yi2x!
Zi0
解得Xi
①，知G点在yoz面上,故G点在FD上.
uuuruuuruuuGFPDF,GF(xi,
yi,i)故有土
2Zi
联立①，②解得,
24G(0--).
55
uuur24
而AG(0,—,—)55
uuu|AG|为直线AB到面EFCD的距离.
(n)因四边形ABFE为平行四边形，则可设
i).由
uuu
E(x0,0,i)(X00),ED(X02,
|ED|,7得，,,(.2,0,i).故AE(
、、2,0,i)
uuruuuruuuruuiuuuuruuiu
由AD(0,2,0),AF(0,0,i)因ADAE0,ADAF0,故FAE为二面角FADE的平面角，又
iuu
|EF|
1■■1
uuu
|FA|
uuuuuuuuurQEFC，2,0,0),|EF|.2,|AF|i,所以tanFAE
例3、如