文档介绍：阿基米德简介
阿基米德（Archimedes ，公元前 287 --- 前 212）是数学历史上最伟大的数学家之一，近代数学史家贝尔（E . T. Bell ,1883 ---I960）说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家On Floating Bodies) ，《引理》.在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平
面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究•在这些研究中，他预见到了极微分割的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限概念•阿基米德的求积法蕴育着积分思想的萌芽，利用这种方法，发现了定理謀球的体积奪于它的外接直圆柱体积的斗”以及"，球的表面积是其大
圆面积的彳倍S这就是刻在阿基米德基禪上的图形「如图3 - 13«

阿基米德研究了曲线图形求积的问题，并且用穷竭法建立了这样的结果：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形(即抛物线)，
A
其面积都是与其同底同髙的三角形面积的专豐
S3. 14
下面是阿基米德的简略证明，可以揭示他的研究方法. AQ1Q4是一抛物线弓形，抛物线顶点为A(如图3 . 14) . Q1Q4交抛物线的轴于，作图中所示的各线段就可完成图形•现在， Q1O2 = 4Q2O2 = 4BC2，AO = 4AC，因此BQ 2 = 3AC .
戈EQ】 =^A0= 2AC二 2EE,
因此，AQjQ^e, ZXb虹二+
所乩 ABQzA = + ^ = i△Q]AO• • CO
同理可以证明.△ADQ*是△臺OQ的占。
采用同样方法重复把 Q1Q2 , Q2O平分就可证明（1）式的右方加上
了一些三角琥其面积等于亦即gAO的寺，等
等•在这些线上不断这样做下去，就可证明抛物线弓形面积是
吧△ △ △ J
△+7^花十亍…，护,
这里△是指△ AQiO4 •
然而阿基米德没有求极限的观念，他是用归谬法来证明他的结论的•这种证法的要点是，如果所求面积不等于给定的面积 S，它就一定同时大于它又小于它•而这是不合理的，由此，推知
△AQiQ*面积的
抛物线弓形的面积等于匚
阿基米德在《圆的度量》（Measurement of acircle） —文中，利用外切与内接 96边形求得
圆周率n：
仃圆周长严外切正％边形的周长”
厂圆的直径、圆的直径 J顽
卄内按正光边形的周长、一 10
圆Wfi径 71!
从而得勾端V兀<売,相当于3, 140<K<3. 142&这是澈学历
史上最早给岀的关于圆周率的误差估计.
在进行证明时，阿基米德防止了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所疑心的•他考虑了内接多边形和外切多边形•他确立这个基本原理的方法是说明并证明：“给定二不等量，则不管大量与小量之比方何接近 1，都有可能：（1）求岀两条直线，使得较长的与较短的之比更小（大于1） ; （2）作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比” •然后就像欧几里得所做过的那样，他证明如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面