文档介绍：《线性代数》复****提纲第一部分:基本要求(计算方面) 四阶行列式的计算; N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等); 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法) ;解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论; 齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性; 求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化; 求方阵的特征值和特征向量; 讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识一、行列式 1 .行列式的定义用 n^2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。(1 )它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和; (2 )展开式共有 n! 项,其中符号正负各半; 2 .行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶( n>=3 )行列式的计算:降阶法定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法: 选取比较简单的一行(列), 保保留一个非零元素, 其余元素化为 0, 利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; (2 )行列式值为 0 的几种情况: Ⅰ行列式某行(列)元素全为 0; Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 1 .矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等); 2 .矩阵的运算(1 )加减、数乘、乘法运算的条件、结果; (2 )关于乘法的几个结论: ①矩阵乘法一般不满足交换律(若 AB= BA ,称 A、B 是可交换矩阵); ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; ③若A、B 为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B| ; ④|kA|=k^n|A| 3 .矩阵的秩(1 )定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩; (2 )秩的求法一般不用定义求,而用下面结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数( 每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4 .逆矩阵(1 )定义: A、B为n 阶方阵,若 AB= BA=I ,称 A 可逆, B是A 的逆矩阵(满足半边也成立); (2) 性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1) , (A')^-1=(A^-1)' ; (AB 的逆矩阵, 你懂的)(注意顺序) (3 )可逆的条件: ①|A| ≠0;② r(A)=n; ③ A->I; (4 )逆的求解伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A* ; (A* A 的伴随矩阵~) ②初等变换法( A:I ) ->( 施行初等变换)( I:A^-1 ) 5 .用逆矩阵求解矩阵方程: AX=B ,则 X=( A^-1 )B; XB=A ,则 X=B(A^-1) ; AXB=C ,则 X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组