第三章 凸分析.pdf

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线。
（2）由二阶导信息：
凸函数凸函数 凹函数凹函数
一元一元 ff””(x(x)) ≥≥00 ff””(x(x)) ≤≤00
nn元元 H(xH(x)) ≥≥00 H(xH(x)) ≤≤00
2 f
其中Hx() ， Hx () 0 即为 Hx () 半正定。
xx
ijnn3()、性质：设fabf 是开区间 ， 上的凸函数，则 在
()ab， 上处处左、右可导，从而是连续的，且其左、
''
右导数ff 和 满足对任 xxabxx12 ，() ， ， 1 2 ，有：
''fx()21 fx () ' '
fx ()11 fx ()  fx  () 2 fx  () 2
xx21
回顾
fx() fx (0 )
fx'(0 ) lim
xx
0 xx 0
''fx() fx (00 ) fx () fx ( )
fx()00 lim， fx () lim
xx xx
00xx00 xx
左、右导数的作用之一是为了求分界函数在某点的导数。二、次微分
定义：f 在 x000 上的次微分记为 fx() ，是由 fx () 在 x 的左、
''
右导数组成的闭区间：[()fx00 ， fx ()] 。
当xf0 是 的可导点时，其次微分即为
'
fx (00 ) f ( x )
所以导数是次微分的推广，不可导时，次微分是一个区间
''
[()fx00， fx ()] ，可导时，区间左右端点相等，即为导数。
例：设4()fxxxR，，求。1  fx()
(1)画出fx ( ) 的图形，并判断其是否为凸函数。 y
xx  0
fx ( )  
xx 0
 0 x
由图可知，f 为凸函数，点为尖点。函数在其尖点是不可导的。0(2)判断fx 在 0 处是否可导：
' fx() f (0) x
f (0) lim lim 1，
xx00xx 0
' fx() f (0) x
f (0) lim lim 1。
xx00xx 0
''
Q fff(0) (0) '(0)不存在。即 fxx ( ) 在  0 处不可导。
(3)求：f (0)
由有，(2)f (0) [ 11] ，。
(4)求：fx ( )
xfx 0()时， 可导， 次微分等于其导数： fxfx ()'()1 ，
xfxfx0()'()1时，同理可得：
f ()x
1 x 0
 1
fx( ) [ 11]， x  0
 0 x
1 x  0 1 : The document was created