文档介绍：机械振动数值分析
第1页，共148页，编辑于2022年，星期四
参考书目
有限单元法，王勖成，清华大学出版社
计算动力学，王天舒，清华大学出版社
有限元分析的概念与应用，Robet ，西安交通大学出版社
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达朗伯—拉格朗日原理
在式（7）中取权函数为真实位移的变分，可得与运动微分方程和边界条件的等效积分形式。
对方程中的第一项进行分部积分，得
式（19）为运动微分方程和边界条件等效积分的“弱”形式
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阶连续性函数
n-1导数连续，且第n阶导数仅有有限个可积间断点的函数
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哈密顿原理
对式（18）在任意时间间隔内积分
对给定时刻，方程中的第一项可转化为
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将式（21）代入式（20），得普遍意义下的哈密顿原理
式（22）说明，对真实运动，系统动能变分和内、外力虚功在任意时间间隔内对时间的积分为零。
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考虑粘滞力后
式（23）中考虑了粘滞力的虚功。
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考虑到应力应变关系，外力虚功可改写为
将式（25）代入式（22），可得
式（26）说明，完整有势系统在任意时间间隔内满足几何关系和给定位移边界条件的所有可能运动中，真实运动使哈密顿作用量取驻值
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例2 用哈密顿原理推导受均布动载荷的等截面悬臂梁的振动微分方程
梁内任意一点位移可表示为
任意一点的应变可表示为
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系统总势能可表示为
系统总动能可表示为
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对系统势能取变分
对系统动能取变分
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代入哈密顿方程得
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拉格朗日乘子法
约束泛函
罚函数法
引入附加泛函后，原泛函的有附加条件的驻值问题转化为修正泛函无附加约束条件的驻值问题。
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拉格朗日乘子法修正泛函的变分
以离散结构为例，需要满足位移边界条件
修正泛函为
驻值条件
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由此得
拉格朗日乘子法修正泛函的变分
拉格朗日乘子法的特点
方程组的阶数增加；
拉格朗日乘子有明确物理意义，相当于力；
导出的系数矩阵存在零对角元。
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罚函数法修正泛函的变分
仍以离散结构为例，修正泛函为
驻值条件
由此得
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罚函数法的特点
附加条件近似满足；
不增加方程阶数；
罚参数相当于刚度系数；
解的精度与罚参数有关。
罚函数法修正泛函的变分
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例3 如图所示弹簧系统，在第一个自由度上施加外力，在第二个自由度上施加强制位移。用拉格朗日乘子法和罚函数法计算第一个自由度的位移
未施加强制位移时可写出系统平衡方程
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将强制位移边界代入，可解得精确解
为满足强制约束条件施加在第二个自由度上的载荷
拉格朗日乘子法
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可解得
为约束反力的负值
罚函数法
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广义变分原理
将场函数应满足的附加条件引入泛函，将的变分原理转化为无附加约束条件的变分原理。
利用拉格朗日乘子法将哈密顿原理附加条件引入泛函，得H-W变分原理泛函为
其中
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广义变分原理
由于所有变分项均独立，可推导出泛函取驻值条件
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广义变分原理
拉格朗日乘子的物理意义为
由此得H-W变分原理泛函为
第42页，共148页，编辑于2022年，星期四<br****题2 如图所示弹簧系统，在第一个和第三个自由度上施加外力，在第二个自由度上施加强制位移。用拉