文档介绍：第二章矩阵及其运算逆矩阵?矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算. ?矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? ?这就是本节所要讨论的问题.?这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看, n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位. 一个复数 a ≠ 0的倒数 a -1可以用等式 a a -1= 1 来刻划. 类似地,我们引入对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A,都有 n n n n n A E E A A ? ?定义: n 阶方阵 A 称为可逆的,如果有 n 阶方阵 B,使得这里 E 是 n 阶单位矩阵. AB BA E ? ??根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式. ?对于任意的 n 阶方阵 A,适合上述等式的矩阵 B 是唯一的(如果有的话) .定义: 如果矩阵 B 满足上述等式,那么 B 就称为 A 的逆矩阵, 记作 A -1 . 下面要解决的问题是: ?在什么条件下,方阵 A 是可逆的? ?如果 A 可逆,怎样求 A -1? 11 12 1 21 22 2 1 2 nn n n nn a a a a a a A a a a ? ?? ?? ??? ?? ?? ???? ???? 11 21 1 12 22 2 * 1 2 nn n n nn A A A A A A A A A A ? ?? ?? ??? ?? ?? ???? ????结论: ,其中* * | | AA A A A E ? ?定理: 若,则方阵 A可逆,而且| | 0 A? 1 * 1. | | A A A ??推论: 若,则. | | 0 A? 11 | | | | AA ??元素的代数余子式位于第 j 行第 i 列 ija ijA 例: 求二阶矩阵的逆矩阵. a b A c d ? ??? ?? ? 11 d b A ad bc c a ??? ??? ?? ?? ?例: 求3阶方阵的逆矩阵. 2 2 1 3 1 5 3 2 3 A ? ?? ??? ?? ?? ?解: | A | = 1 , 11 12 13 21 22 23 31 32 33 7, 6, 3, 4, 3, 2, 9, 7, 4, M M M M M M M M M ?? ???? ???? ???则 11 21 31 1 * * 12 22 32 13 23 33 1 | | A A A A A A A A A A A A A ?? ?? ?? ??? ?? ?? ? 11 21 31 12 22 32 13 23 33 M M M M M M M M M ?? ?? ?? ? ?? ?? ??? ? 7 4 9 6 3 7 3 2 4 ? ?? ?? ?? ?? ?? ???