文档介绍：: .
授课题目：：
1 .掌握对: .
授课题目：：
1 .掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题.
2 .掌握对称变换的特征根、特征向量的性质.
,能熟练地找到正交矩阵T,使TAT为对角形授课时数：3学时教学重点：
对称变换的特征根、特征向量的性质；对实对称矩阵A,能熟练地找到正交矩阵T,使tAt为对角形教学难点：：
一、对称变换
1、一个问题
问题：欧氏空间V中的线性变换匚应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V满足：：：：；「（：•），h）V
2、对称变换的定义设二是欧氏空间V中的线性变换，如果V都有、则称；「是V的一个对称变换3例1以下R的线性变换中，指出哪些是对称变换?
（N，X2，X3）=（xX2，X2
X3，X3Xj
二2（Xi,X2,X3）=（X「X3,X2-2X3,X!-2X2X3）；~3（X1,X2,X3^（X2^X1,-X3）
3、对称变换与对称矩阵的关系Th1:n维欧氏空间V中的线性变换二是对称变换的充分必要条件是：
二关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵证：必要性：设、二是对称变换，二关于V的标准正交基「1,〉2n｝的矩阵是A=（aij），AUn（R）即（匚（：1）卢（：2）匚（：n））二｛：1,：2：n｝An则匚Ci）二為ak「k1-nkd因二是对称变换，｛'-^^'2^：n｝是标准正交基，所以naji=：'、'akiU,〉j—：：；「Ci）,〉j—：：・，；「（〉j）-k2n=：：',7ajk二ajk4因此，A是对称矩阵充分性设;「关于v的标准正交基｛宀，—…："｝的矩阵是A=（aq）是实对称矩
阵，即（；（1）,乂2）；「Cn））二｛：1,：2：n｝A，A=A-对任意-V，有--Xv-1-X2—…•X"=｛〉1「2…-<■-iy2：2y「n二｛：i,：2：n｝y于是；（）=｛：1,：2：n｝A工=）*1，：2：n｝Ay其中A工，Ay分别是二（-），二（-）关于标准正交基｛、，:七…：^｝的坐标列向量，因此—（:）「.=（a、jty二=tatY：：：,；彳）.=\T（ay）=[J人丫因A=a一故：:：；「（：•），：=：：：〉，；「（：）-
二、对称变换的基本性质
1、特征根的性质
Th2实对称矩阵的特征根都是实数证明：设A=（aij）是一个n阶实对称矩阵，■是A在复数域内的任意一个特征根，cjJc2Ecn是A的属于特征根■的特征向量，于是有-0且A=、•，为了证'获='Ci、记A=(aj),：—t一=->Cn」■■AUn(R)，故A二A,在A二'■两端取共轭转置，由复数共轭的性质TTTTTTT及A二A得(A)T=(A$=A=A=A=(G，C2…Cn)A=(」T)=(Ci，C^'Cn)所乙1_