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一 高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义： （ 为常数），
等差中项： 成等差数列
前 项和
性质：
是等差数列
仍为等差数列，
仍为
（1）若
，则
（2）数列
等差数列 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将 这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将 其合并。
n 项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特
征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 )
n 项和。
三
方法总结及题型大全
方法技巧
数列求和的常用方法
一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 .
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等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
4 、
例 1（07 高考山东文
18）设
是公比大于
1 的等比数列，
为数列
的前
项和．已
知
，且
构成等差数列．
项和
．
（1）求数列
的等差数列．
求数列
的前
（2）令
解：（ 1）由已知得
解得
．
设数列
的公比为
，由
，可得
．
又
，可知
，即
，
解得
．由题意得
．
．故数列
的通项为
又
．
（2）由于
，
由（ 1）得
是等差数列．
故
．
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练习：设 Sn＝ 1+2+3+⋯ +n ，n∈N* ,求 的最大值 .
解：由等差数列求和公式得
，
（利用常
用公式）
∴
＝
＝
＝
∴ 当 ，即 n＝8 时，
二、错位相减法
设数列
的等比数列，数列
是等差数列，则数列
的前
项和
求解，均可用
错位相减法。
例 2（07 高考天津理
21）在数列
；
中，
，
，
，
其中
．
，
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
（Ⅰ）解：由
可得
所以
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，所以数列
为等差数列， 其公差为 1，首项为 0，故
的通项公式为
．
，
①
（Ⅱ）解：设
②
当
时，①式减去②式，
，
得
．
这时数列
的前
项和
．
当
时，
．这时数列
的前
项和
．
例 3（ 07 高考全国Ⅱ文
21）设
．
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
（Ⅰ）求
，
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前 n 项和
解：（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为
，则依题意有
且
解得
，
．
，
所以
．
（Ⅱ） ．
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，①
，②
②－①得 ，
．
三、逆序相加法
把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
例 4（07 豫南五市二联理
22.）设函数
.
的图象上有两点
P1(x1, y1) 、P2(x2, y2) ，
若
,且点 P 的横坐标为
（I）求证： P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（II ）若
（III ）略
（I）∵
的中点，且
,且点 P 的横坐标为
.
∴P 是
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由（ I）知，
，
（
1
）
+
（
2
）
得
：
四、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分
解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
（3） 等。
例 5 求数列 的前 n 项和 .
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
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＝
例 6（ 06 高考湖北卷理
17 ）已知二次函数
，点
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列
的前 n 项和为
均在函数
的图像
上。
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
的前 n 项和，求使得
对所有
都成立的
（Ⅱ）设
，
是数列
最小正整数 m；
解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x) ＝ax2+bx (a ≠ 0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x － 2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x) ＝3x2－2x.
又因为点 均在函数 的图像上，所以 ＝3n2－2n.
当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－ 1＝（ 3n2－