泛函分析总结.doc

文档介绍：泛函分析知识点小结及应用
第七章 度量空间
1 度量空间的进一步例子
一度量空间的定义
设 X 是任一非空集合，若对于 x, y X ，都有唯一确定的实数
d x, y 与之对 d x0 , y0

+ d y0 , y
d x, y

-

d x0 , y0

d x, x0

+ d y0 , y

;
d x0 , y0

d x0 , x

+ d x, y

+ d y , y0

d x0

, y0

-

d x, y
d x, x0

+ d y0 , y

.

所以 |

d x, y

- d x0

, y0

|

d x, x0

+d y0 , y
具体空间中点列收敛的具体意义：
1.
欧氏空间 Rn
xm = x1
m , x2
m ,
, xnm
， m
1,2,
，为 Rn 中
的点列， x = x1 , x2 ,
, xn
Rn ，
d xm, x =
x1m
x1
2
2
xnm
xn
2
xm
x
x2m
x2
.
m
对每个 1
i
n ，有 xi m
xi
m.
2.
C a,b
设
xn
n
1 C a,b ， x
C a,b ，则
d xn , x = max xn
t
x t
0
n
xn
n 1 在 a, b 一致收敛于
a t b
x .
3.
序列空间 S
设 xm = 1
m ,
2
m ,
,
nm ,
， m
1,2, ，
及 x =
1 ,
2 ,
,
n ,
分别是 S 中的点列及点，则
1
m
d xm , x
k
k
0
m
xm 依坐标收敛于 x .
k 1 2
k
1
m
k
k
4.
可测函数空间 M X
设 f n n
1M
X ， f
M
X ，则
因 d f n , f =
f n t
f t
dm
，有 f n
f
f n
f .
t f
X 1 f n
t